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Concept
Filtre de Butterworth
Résumé
Un filtre de Butterworth est un type de filtre linéaire, conçu pour posséder un gain aussi constant que possible dans sa bande passante.
Les filtres de Butterworth furent décrits pour la première fois par l'ingénieur britannique .
Le gain d'un filtre de Butterworth est le plus constant possible dans la bande passante et tend vers 0 dB dans la bande de coupure. Sur un diagramme de Bode logarithmique, cette réponse décroît linéairement vers -∞, de -6 dB/octave (-20 dB/décade) pour un filtre de premier ordre, -12 dB/octave soit -40 dB/decade pour un filtre de second ordre, -18 dB/octave soit -60 dB/decade pour un filtre de troisième ordre, etc.
Comme pour tous les filtres linéaires, le prototype étudié est le filtre passe-bas, qui peut être facilement modifié en filtre passe-haut ou placé en série pour former des filtres passe-bande ou coupe-bande.
Le gain d'un filtre de Butterworth passe-bas d'ordre n est :
où est le gain du filtre,
sa fonction de transfert,
l'unité imaginaire : (les électroniciens utilisent la lettre j au lieu de i pour ne pas confondre avec i de l'intensité)
la fréquence angulaire (ou pulsation) du signal en radians par seconde (rad.s-1) ( )
et la fréquence de coupure (angulaire) du filtre (à -3 dB).
En normalisant l'expression (c’est-à-dire en spécifiant ) :
Les 2n-1 premières dérivées de sont nulles pour , impliquant une constance maximale du gain dans la bande passante.
Aux hautes fréquences :
Le roll-off du filtre (la pente du gain dans un diagramme de Bode) est de -20n dB/décade, où 'n' est l'ordre du filtre.
Le gain ne représente que le module de la fonction de transfert H(p) (au sens de la transformée de Laplace), ce qui laisse une certaine latitude pour déterminer cette dernière. On doit avoir
Les pôles de cette expression sont équirépartis sur un cercle de rayon ωc. Pour que le filtre soit stable, on choisit les pôles de la fonction de transfert comme ceux de H(p)H(-p) ayant une partie réelle négative.
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