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Concept
Sous-espace vectoriel
Résumé
En algèbre linéaire, un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel E, est une partie non vide F, de E, stable par combinaisons linéaires. Cette stabilité s'exprime par :
la somme de deux vecteurs de F appartient à F ;
le produit d'un vecteur de F par un scalaire appartient à F.
Muni des lois induites, F est alors un espace vectoriel. L'intersection d'une famille non vide de sous-espaces de E est un sous-espace de E. La réunion d'une famille non vide de sous-espaces n'en est généralement pas un ; le sous-espace engendré par cette réunion est la somme de cette famille.
Soit E un espace vectoriel sur un corps K.
En effet, la condition 1, plus forte que la condition « F est non vide et stable par sommes », lui est équivalente en présence de la condition 2 car cette dernière entraîne que F est stable par opposés (si alors –u = (–1)∙u ∈ F).
Une caractérisation intermédiaire donc également équivalente est :
Par ailleurs, la stabilité par combinaisons linéaires possède des formulations équivalentes à celle du résumé introductif, comme
ou encore
L'espace nul {0} et l'espace total E sont respectivement le plus petit et le plus grand sous-espace vectoriel de E. On les appelle les « sous-espaces vectoriels triviaux » de E.
Dans l'espace vectoriel K des n-uplets (pour n > 0) :
l'ensemble des solutions x = (x, ... , x) d'une équation linéaire homogène donnée, ax + ... + ax = 0 (où a, ... , a sont n scalaires fixés, non tous nuls), est un sous-espace vectoriel et plus précisément un hyperplan : si n = 3, c'est un plan vectoriel de l'espace K ; si n = 2, c'est une droite vectorielle du plan K.
plus généralement, l'ensemble des solutions d'un système d'équations linéaires homogènes est un sous-espace vectoriel.
l'ensemble des solutions d'une équation linéaire non homogène ax + ... + ax = b, où le scalaire b est non nul, n'est pas un sous-espace vectoriel puisqu'il ne contient pas le vecteur nul. C'est seulement un sous-espace affine.
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En algèbre linéaire, un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel E, est une partie non vide F, de E, stable par combinaisons linéaires. Cette stabilité s'exprime par : la somme de deux vecteurs de F appartient à F ; le produit d'un vecteur de F par un scalaire appartient à F. Muni des lois induites, F est alors un espace vectoriel. L'intersection d'une famille non vide de sous-espaces de E est un sous-espace de E. La réunion d'une famille non vide de sous-espaces n'en est généralement pas un ; le sous-espace engendré par cette réunion est la somme de cette famille.
Matrice (mathématiques)
thumb|upright=1.5 En mathématiques, les matrices sont des tableaux d'éléments (nombres, caractères) qui servent à interpréter en termes calculatoires, et donc opérationnels, les résultats théoriques de l'algèbre linéaire et même de l'algèbre bilinéaire. Toutes les disciplines étudiant des phénomènes linéaires utilisent les matrices. Quant aux phénomènes non linéaires, on en donne souvent des approximations linéaires, comme en optique géométrique avec les approximations de Gauss.
Sous-espace vectoriel engendré
Dans un espace vectoriel E, le sous-espace vectoriel engendré par une partie A de E est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A. C'est aussi l'ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs de A. Le sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs est le plus petit sous-espace contenant tous les vecteurs de cette famille. Une famille de vecteurs ou une partie est dite génératrice de E si le sous-espace qu'elle engendre est l'espace entier E.
MOOCs associés (10)
Algèbre Linéaire (Partie 1)
Un MOOC francophone d'algèbre linéaire accessible à tous, enseigné de manière rigoureuse et ne nécessitant aucun prérequis.
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Un MOOC francophone d'algèbre linéaire accessible à tous, enseigné de manière rigoureuse et ne nécessitant aucun prérequis.
Algèbre Linéaire (Partie 2)
Un MOOC francophone d'algèbre linéaire accessible à tous, enseigné de manière rigoureuse et ne nécessitant aucun prérequis.