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Concept
Sous-espace vectoriel
Résumé
En algèbre linéaire, un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel E, est une partie non vide F, de E, stable par combinaisons linéaires. Cette stabilité s'exprime par :
la somme de deux vecteurs de F appartient à F ;
le produit d'un vecteur de F par un scalaire appartient à F.
Muni des lois induites, F est alors un espace vectoriel. L'intersection d'une famille non vide de sous-espaces de E est un sous-espace de E. La réunion d'une famille non vide de sous-espaces n'en est généralement pas un ; le sous-espace engendré par cette réunion est la somme de cette famille.
Soit E un espace vectoriel sur un corps K.
En effet, la condition 1, plus forte que la condition « F est non vide et stable par sommes », lui est équivalente en présence de la condition 2 car cette dernière entraîne que F est stable par opposés (si alors –u = (–1)∙u ∈ F).
Une caractérisation intermédiaire donc également équivalente est :
Par ailleurs, la stabilité par combinaisons linéaires possède des formulations équivalentes à celle du résumé introductif, comme
ou encore
L'espace nul {0} et l'espace total E sont respectivement le plus petit et le plus grand sous-espace vectoriel de E. On les appelle les « sous-espaces vectoriels triviaux » de E.
Dans l'espace vectoriel K des n-uplets (pour n > 0) :
l'ensemble des solutions x = (x, ... , x) d'une équation linéaire homogène donnée, ax + ... + ax = 0 (où a, ... , a sont n scalaires fixés, non tous nuls), est un sous-espace vectoriel et plus précisément un hyperplan : si n = 3, c'est un plan vectoriel de l'espace K ; si n = 2, c'est une droite vectorielle du plan K.
plus généralement, l'ensemble des solutions d'un système d'équations linéaires homogènes est un sous-espace vectoriel.
l'ensemble des solutions d'une équation linéaire non homogène ax + ... + ax = b, où le scalaire b est non nul, n'est pas un sous-espace vectoriel puisqu'il ne contient pas le vecteur nul. C'est seulement un sous-espace affine.
Source officielle
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