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Concept
Combinaison linéaire
Résumé
En mathématiques, une combinaison linéaire est une expression construite à partir d'un ensemble de termes en multipliant chaque terme par une constante et en ajoutant le résultat. Par exemple, une combinaison linéaire de x et y serait une expression de la forme ax + by, où a et b sont des constantes.
Le concept de combinaison linéaire est central en algèbre linéaire et dans des domaines connexes des mathématiques. La majeure partie de cet article traite des combinaisons linéaires dans le contexte d'espace vectoriel sur un corps commutatif, et indique quelques généralisations à la fin de l'article.
Soient K un corps commutatif et E un espace vectoriel sur K. Les éléments de E sont appelés les vecteurs et les éléments de K les scalaires. Si v, ..., v sont des vecteurs et a, ..., a des scalaires, alors la combinaison linéaire de ces vecteurs ayant comme coefficients ces scalaires est le vecteur av + ... + av.
Pour parler de combinaison linéaire d'une famille (v) de vecteurs de E indexée par un ensemble I éventuellement infini, il est nécessaire de supposer que la famille (a) de scalaires est à support fini, c'est-à-dire qu'il n'y a qu'un ensemble fini d'indices i pour lesquels a est non nul. La combinaison linéaire des v de coefficients les a est alors la somme ∑ av (en particulier, une combinaison linéaire ne portant sur aucun vecteur est la somme vide, égale au vecteur nul).
Une « relation de dépendance linéaire » est une combinaison linéaire égale au vecteur nul. Une famille de vecteurs est liée si elle possède au moins une relation de dépendance linéaire « non triviale », c'est-à-dire à coefficients non tous nuls.
Une partie non vide F de E est un sous-espace vectoriel si et seulement si F est « stable par combinaisons linéaires », c'est-à-dire si toute combinaison linéaire de vecteurs de F est encore un vecteur de F.
Soient K le corps R des nombres réels et E l'espace vectoriel euclidien R.Considérons les vecteurs e = (1, 0, 0), e = (0, 1, 0) et e = (0, 0, 1).Alors, tout vecteur (a, a, a) de R est une combinaison linéaire de e, e et e.
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