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Concept
Sous-espace vectoriel engendré
Résumé
Dans un espace vectoriel E, le sous-espace vectoriel engendré par une partie A de E est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A. C'est aussi l'ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs de A. Le sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs est le plus petit sous-espace contenant tous les vecteurs de cette famille.
Une famille de vecteurs ou une partie est dite génératrice de E si le sous-espace qu'elle engendre est l'espace entier E.
Soit A une partie (pas nécessairement finie) d'un espace vectoriel E sur un corps commutatif K.
On note Vect(A) (ou encore parfois [A]) l'ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs de A. Autrement dit : un vecteur v appartient à Vect(A) si et seulement s'il existe une famille (λ) de scalaires, à support fini (c'est-à-dire que l'ensemble des indices correspondant à des scalaires non nuls est fini) et telle que
On démontre que Vect(A) est un sous-espace vectoriel de E contenant A et que c'est le plus petit (pour l'inclusion), ce qui en fournit une définition équivalente. Vect(A) est donc l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant A.
La partie A est dite génératrice de Vect(A), ou ensemble de générateurs de Vect(A).
La définition s'étend à une famille quelconque (v) de vecteurs de E (non nécessairement distincts). Le sous-espace vectoriel engendré par la famille, noté Vect((v)), est le sous-espace vectoriel engendré par la partie A = {v | i ∈ I}. C'est donc l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de vecteurs de la famille :
où N est l'ensemble des entiers naturels.
Les familles (λ) de scalaires à support fini forment un K-espace vectoriel noté K. Le sous-espace vectoriel engendré par la famille (v) est l' de l'application linéaire
Une base de E est une famille génératrice constituée de vecteurs linéairement indépendants. De manière équivalente, une base est une famille génératrice minimale. De toute famille génératrice peut être extraite une sous-famille qui est une base.
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