Moyenne quasi-arithmétique

En mathématiques et en statistiques, les moyennes quasi-arithmétiques, ou moyennes de Kolmogorov ou encore moyennes selon une fonction f constituent une généralisation de la moyenne (de Hölder) d'ordre p (qui est elle-même une généralisation des moyennes usuelles : arithmétique, géométrique). Elles sont paramétrées par une fonction f. Soit une fonction d'un intervalle dans les nombres réels, continue et injective. La moyenne selon la fonction f des nombres est définie par , que l'on peut aussi écrire Il est nécessaire que soit injective pour que son inverse soit définie. Comme est définie sur un intervalle, appartient au domaine de définition de . Comme est injective et continue, elle est strictement monotone, d'où il découle que la moyenne selon f est toujours comprise entre le minimum et le maximum des nombres en argument : (Dans les exemples suivants, ou ) Pour , alors la moyenne selon f correspond à la moyenne arithmétique quels que soient et (voir la propriété d'invariance d'échelle infra). Pour , alors la moyenne selon f correspond à la moyenne géométrique quelle que soit la base du logarithme dès lors que celle-ci est positive et différente de 1. Pour , alors la moyenne selon f correspond à la moyenne harmonique. Pour , alors la moyenne selon f correspond à la moyenne d'ordre . Pour , alors la -moyenne est la moyenne dans le , qui est une version décalée d'une constante de la fonction softmax: . Le correspond à une division par . Par contre, la moyenne logarithmique n'est pas une moyenne quasi-arithmétique . Les propriétés suivantes sont vraies pour toute fonction satisfaisant à la définition ci-dessus: Symétrie : La valeur de est invariante par permutation de ses arguments. Point fixe : . Croissance : est croissante en chacun de ses arguments (puisque et sont monotones de même sens). Continuité : est continue en chacun de ses arguments (puisque est continue). Substitution : n'importe quel sous-ensemble de arguments peut être remplacé par sa -moyenne répétée fois, sans changer le résultat de la -moyenne globale.