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Concept
Moyenne quasi-arithmétique
Résumé
En mathématiques et en statistiques, les moyennes quasi-arithmétiques, ou moyennes de Kolmogorov ou encore moyennes selon une fonction f constituent une généralisation de la moyenne (de Hölder) d'ordre p (qui est elle-même une généralisation des moyennes usuelles : arithmétique, géométrique). Elles sont paramétrées par une fonction f.
Soit une fonction d'un intervalle dans les nombres réels, continue et injective.
La moyenne selon la fonction f des nombres est définie par , que l'on peut aussi écrire
Il est nécessaire que soit injective pour que son inverse soit définie. Comme est définie sur un intervalle, appartient au domaine de définition de .
Comme est injective et continue, elle est strictement monotone, d'où il découle que la moyenne selon f est toujours comprise entre le minimum et le maximum des nombres en argument :
(Dans les exemples suivants, ou )
Pour , alors la moyenne selon f correspond à la moyenne arithmétique quels que soient et (voir la propriété d'invariance d'échelle infra).
Pour , alors la moyenne selon f correspond à la moyenne géométrique quelle que soit la base du logarithme dès lors que celle-ci est positive et différente de 1.
Pour , alors la moyenne selon f correspond à la moyenne harmonique.
Pour , alors la moyenne selon f correspond à la moyenne d'ordre .
Pour , alors la -moyenne est la moyenne dans le , qui est une version décalée d'une constante de la fonction softmax: . Le correspond à une division par .
Par contre, la moyenne logarithmique n'est pas une moyenne quasi-arithmétique .
Les propriétés suivantes sont vraies pour toute fonction satisfaisant à la définition ci-dessus:
Symétrie : La valeur de est invariante par permutation de ses arguments.
Point fixe : .
Croissance : est croissante en chacun de ses arguments (puisque et sont monotones de même sens).
Continuité : est continue en chacun de ses arguments (puisque est continue).
Substitution : n'importe quel sous-ensemble de arguments peut être remplacé par sa -moyenne répétée fois, sans changer le résultat de la -moyenne globale.
Source officielle
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