Concept

Moyenne quasi-arithmétique

En mathématiques et en statistiques, les moyennes quasi-arithmétiques, ou moyennes de Kolmogorov ou encore moyennes selon une fonction f constituent une généralisation de la moyenne (de Hölder) d'ordre p (qui est elle-même une généralisation des moyennes usuelles : arithmétique, géométrique). Elles sont paramétrées par une fonction f. Soit une fonction d'un intervalle dans les nombres réels, continue et injective. La moyenne selon la fonction f des nombres est définie par , que l'on peut aussi écrire Il est nécessaire que soit injective pour que son inverse soit définie. Comme est définie sur un intervalle, appartient au domaine de définition de . Comme est injective et continue, elle est strictement monotone, d'où il découle que la moyenne selon f est toujours comprise entre le minimum et le maximum des nombres en argument : (Dans les exemples suivants, ou ) Pour , alors la moyenne selon f correspond à la moyenne arithmétique quels que soient et (voir la propriété d'invariance d'échelle infra). Pour , alors la moyenne selon f correspond à la moyenne géométrique quelle que soit la base du logarithme dès lors que celle-ci est positive et différente de 1. Pour , alors la moyenne selon f correspond à la moyenne harmonique. Pour , alors la moyenne selon f correspond à la moyenne d'ordre . Pour , alors la -moyenne est la moyenne dans le , qui est une version décalée d'une constante de la fonction softmax: . Le correspond à une division par . Par contre, la moyenne logarithmique n'est pas une moyenne quasi-arithmétique . Les propriétés suivantes sont vraies pour toute fonction satisfaisant à la définition ci-dessus: Symétrie : La valeur de est invariante par permutation de ses arguments. Point fixe : . Croissance : est croissante en chacun de ses arguments (puisque et sont monotones de même sens). Continuité : est continue en chacun de ses arguments (puisque est continue). Substitution : n'importe quel sous-ensemble de arguments peut être remplacé par sa -moyenne répétée fois, sans changer le résultat de la -moyenne globale.

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Average
In ordinary language, an average is a single number taken as representative of a list of numbers, usually the sum of the numbers divided by how many numbers are in the list (the arithmetic mean). For example, the average of the numbers 2, 3, 4, 7, and 9 (summing to 25) is 5. Depending on the context, an average might be another statistic such as the median, or mode. For example, the average personal income is often given as the median—the number below which are 50% of personal incomes and above which are 50% of personal incomes—because the mean would be higher by including personal incomes from a few billionaires.
Moyenne géométrique
En mathématiques, la moyenne géométrique est un type de moyenne. La moyenne géométrique de deux nombres positifs a et b est le nombre positif c tel que : Cette égalité étant une proportion, ceci justifie l'autre appellation « moyenne proportionnelle » de la moyenne géométrique. vignette|La moyenne géométrique des côtés d'un rectangle est donnée par un carré de même aire. Elle est construite par un cercle tangent aux deux cercles définis par les côtés du rectangle et les séparant.
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