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Concept
Volatilité stochastique
Résumé
La volatilité stochastique est utilisée dans le cadre de la finance quantitative, pour évaluer des produits dérivés, tels que des options. Le nom provient du fait que le modèle traite la volatilité du sous-jacent comme un processus aléatoire, fonction de variables d'états telles que le prix du sous-jacent, la tendance qu'a la volatilité, à moyen terme, à faire revenir le prix vers une valeur moyenne, la variance du processus de la volatilité, etc.
Les modèles de volatilité stochastiques présentent l'une des approches pour résoudre l'une des lacunes du modèle Black-Scholes, qui ne prend pas en compte le fait que la volatilité sous-jacente peut ne pas être constante, pendant le temps de vie du produit dérivé, et que celui-ci est affecté par le changement de valeur du sous-jacent.
Cependant, ces modèles ne peuvent expliquer certaines caractéristiques bien connues de la volatilité implicite, telles que le smile de volatilité, ou le biais de volatilité, qui indique que la volatilité implicite a tendance à varier en accord avec le prix d'exercice et la date d'expiration du dérivé.
En supposant que la volatilité du prix du sous-jacent est un processus stochastique, plutôt qu'une constante, il devient possible de modéliser les produits dérivés avec plus de précision.
Le point de départ consiste à exprimer le prix de l'actif sous-jacent par un mouvement Brownien géométrique standard :
où est le drift constant (i.e. le rendement espéré) du prix du sous-jacent, , est la volatilité supposée constante, et est un incrément de mouvement Brownien. Cet incrément suit donc en loi une distribution gaussienne standard de moyenne nulle et d'écart type unitaire. La solution explicite de cette équation différentielle stochastique est connue :
On peut notamment se servir de cette expression pour calculer l'estimation du Maximum de vraisemblance pour la volatilité constante étant donné des prix de marché :
Son espérance est .
Source officielle
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