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Concept
Analyse complexe
Résumé
L'analyse complexe est un domaine des mathématiques traitant des fonctions à valeurs complexes (ou, plus généralement, à valeurs dans un C-espace vectoriel) et qui sont dérivables par rapport à une ou plusieurs variables complexes.
Les fonctions dérivables sur un ouvert du plan complexe sont appelées holomorphes et satisfont de nombreuses propriétés plus fortes que celles vérifiées par les fonctions dérivables en analyse réelle. Entre autres, toute fonction holomorphe est analytique et vérifie le principe du maximum.
Le principe des zéros isolés permet de définir le corps des fonctions méromorphes comme ensemble des quotients de fonctions entières, c'est-à-dire de fonctions holomorphes définies sur tout le plan complexe. Parmi ces fonctions méromorphes, les fonctions homographiques forment un groupe qui agit sur la sphère de Riemann, constituée du plan complexe muni d'un point à l'infini.
Le prolongement analytique mène à la définition des surfaces de Riemann, qui permettent de ramener à de vraies fonctions (dont elles sont le support) les fonctions multivaluées telles que la racine carrée ou le logarithme complexe.
L'étude des fonctions de plusieurs variables complexes ouvre la voie à la géométrie complexe.
La définition de la dérivée complexe
est en tout point semblable à celle de la dérivée réelle, si ce n'est que les opérations de corps (ici la soustraction et la division) sont remplacées par celles des complexes.
La dérivabilité complexe a des conséquences beaucoup plus fortes que celles de la dérivabilité réelle. Par exemple, toute fonction holomorphe est développable en série entière sur tout disque ouvert inclus dans son domaine de définition qui doit être un ouvert, et est ainsi équivalente à une fonction analytique. En particulier, les fonctions holomorphes sont indéfiniment dérivables, ce qui en général n'est pas le cas pour les fonctions réelles dérivables. La plupart des fonctions élémentaires, telles que les fonctions polynomiales, la fonction exponentielle, et les fonctions trigonométriques, sont holomorphes.
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