vignette|Diagramme commutatif traduisant la propriété universelle de la somme amalgamée.
En mathématiques, la somme amalgamée est une opération entre deux ensembles constituant les espaces d'arrivée de deux applications définies sur un même troisième ensemble. Le résultat satisfait une propriété universelle de factorisation de diagrammes, duale de celle du produit fibré et qui peut être valable dans d'autres catégories que celle des ensembles, comme celle des groupes. Dans la catégorie des espaces topologiques, la somme amalgamée intervient ainsi dans la description de certains espaces, dont le groupe fondamental se calcule alors à l'aide du théorème de van Kampen.
Par analogie avec la traduction anglaise de « produit fibré » (pullback), la somme amalgamée est parfois désignée par sa traduction en pushout (« poussé en avant »).
Étant données deux applications définies sur un même ensemble :
la somme amalgamée de X et Y le long de Z est définie comme le quotient de l'union disjointe de X et Y par la relation d'équivalence engendrée par :
pour tout z dans Z. Elle se note :
La somme amalgamée étant un quotient de l'union disjointe, les injections canoniques induisent des applications qui permettent de compléter le carré commutatif :
Dans des catégories ensemblistes, telles celles des espaces topologiques ou des espaces vectoriels, la somme amalgamée constitue elle-même un objet de la catégorie.
Avec les notations de la partie précédentes, si Q est l'ensemble d'arrivée de deux applications définies respectivement sur X et Y et permettant de construire un carré commutatif :
alors il existe une unique application u de la somme amalgamée vers l'ensemble Q qui factorise le diagramme :
Autrement dit, la somme amalgamée est la colimite du diagramme formé à l'aide des deux applications initiales f et g. Il est aussi possible de la voir comme la somme (au sens des catégories) dans une catégorie des morphismes partant de Z.
Plus généralement, la somme amalgamée dans une catégorie quelconque est la colimite d'un tel diagramme, lorsqu'elle existe, ce qui est le cas dans les catégories abéliennes.
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This course will provide an introduction to model category theory, which is an abstract framework for generalizing homotopy theory beyond topological spaces and continuous maps. We will study numerous
Singular cohomology is defined by dualizing the singular chain complex for spaces. We will study its basic properties, see how it acquires a multiplicative structure and becomes a graded commutative a
En mathématiques, une catégorie complète est une catégorie dans laquelle toutes les petites limites existent. Autrement dit, une catégorie C est complète si tout diagramme F : J → C (où J est petite) a une limite dans C. Duallement, une catégorie cocomplète est une catégorie dans laquelle toutes les petites colimites existent. Une catégorie bicomplète est une catégorie à la fois complète et cocomplète. L'existence de toutes les limites (même lorsque J est une classe propre) est trop forte pour être pertinente en pratique.
En théorie des catégories, un diagramme est une collection d'objets et de flèches d'une catégorie donnée. En principe, un diagramme n'est pas un objet mathématique mais seulement une figure, destinée à faciliter la lecture d'un raisonnement. En pratique, on se sert souvent des diagrammes comme de symboles abréviateurs, qui évitent de nommer tous les objets et les flèches que l'on veut considérer; on dit souvent que "considérons le diagramme ci-dessus" au lieu de dire par exemple dans la catégorie des ensembles: "considérons quatre ensembles et une application de dans .
En mathématiques, le produit fibré est une opération entre deux ensembles munis tous deux d'une application vers un même troisième ensemble. Sa définition s'étend à certaines catégories en satisfaisant une propriété universelle de factorisation de diagrammes, en dualité avec la somme amalgamée. Le produit fibré est utilisé notamment en géométrie algébrique pour définir le produit de deux schémas, ou en topologie algébrique pour construire, à partir d'un espace fibré (tel un revêtement), un autre espace de même fibre, le , en remontant le long d'une application entre les deux bases, d'où l'appellation en anglais pullback (« tiré en arrière ») parfois utilisée en français.
Explore les limites et les limites dans les catégories de functeurs, en mettant l'accent sur les égaliseurs, les retraits et leur importance dans la théorie des catégories.
Given a monad T on Set whose functor factors through the category of ordered sets with left adjoint maps, the category of Kleisli monoids is defined as the category of monoids in the hom-sets of the Kleisli category of T. The Eilenberg-Moore category of T ...