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Concept
Sous-espace stable
Résumé
En algèbre linéaire, un endomorphisme laisse stable un sous-espace vectoriel F quand les éléments de F ont pour image un élément de F.
La recherche de sous-espaces stables est étroitement liée à la théorie de la réduction des endomorphismes.
Soient E un espace vectoriel et u un endomorphisme de E.
Un sous-espace vectoriel F de E est dit stable par u quand , c'est-à-dire : .
Dans ce cas, u induit sur F un endomorphisme
L'endomorphisme induit est la double restriction de l'endomorphisme initial avec à la fois un nouvel ensemble de départ et un nouvel ensemble d'arrivée. La condition de stabilité est une condition nécessaire et suffisante pour que cette double restriction soit une application.
Si E est de dimension finie et muni d'une base adaptée à F (c'est-à-dire une base de F complétée en une base de E), la matrice représentative de u peut être notée par blocs
Alors F est un espace stable par u si et seulement si C = 0, et dans ce cas la matrice de l'endomorphisme induit sur F est A.
Soient E un espace vectoriel et u un endomorphisme de E. Les deux sous-espaces triviaux {0} et E sont stables par u.
Un endomorphisme d'un espace vectoriel non nul pour lequel les seuls sous-espaces stables sont les deux sous-espaces triviaux est qualifié d'endomorphisme irréductible. Tout endomorphisme d'une droite vectorielle est irréductible. Toute rotation d'un plan euclidien dont l'angle n'est pas un multiple de est irréductible. En dimension finie, un endomorphisme est irréductible si et seulement s'il est cyclique et si son polynôme minimal est irréductible.
Soient E un espace vectoriel, u un endomorphisme de E et une famille de sous-espaces stables par u. Alors et sont stables par u
Une droite est stable par un endomorphisme u si et seulement si elle est engendrée par un vecteur propre de u. En conséquence, tout sous-espace engendré par des vecteurs propres de u est stable par u.
Si u est un endomorphisme diagonalisable de E alors tout sous-espace de E possède un supplémentaire stable par u.
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