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Concept
Formule du multinôme de Newton
Résumé
En mathématiques, la formule du multinôme de Newton est une relation donnant le développement d'une puissance entière n d'une somme d'un nombre fini m de termes sous forme d'une somme de produits de puissances de ces termes affectés de coefficients, lesquels sont appelés des coefficients multinomiaux. La formule du binôme s'obtient comme cas particulier de la formule du multinôme, pour m=2 ; et dans ce cas les coefficients multinomiaux sont les coefficients binomiaux.
Soient m et n deux entiers naturels, , et des nombres réels ou complexes (ou plus généralement, des éléments d'un anneau commutatif, voire seulement d'un anneau, à condition que ces m éléments commutent deux à deux). Alors,
La somme porte sur tous les m-uplets d'indices entiers naturels tels que , certains d'entre eux pouvant être nuls.
Une écriture équivalente mais bien plus concise consiste à sommer sur tous les multi-indices de dimension m dont le module est égal à n :
Les nombres
sont appelés les coefficients multinomiaux.
Le coefficient multinomial est également le nombre de « partitions ordonnées » d'un ensemble à n éléments en m ensembles de cardinaux successifs k, k,...,k. Plus formellement :
Par exemple, les 3 «partitions ordonnées» comptées par sont , , .
Et plus concrètement, est le nombre de mots de longueur n formés avec un alphabet de m caractères, le premier caractère étant répété k fois, le deuxième, k fois, ..., le m-ième, k fois. Par exemple, le nombre d'anagrammes du mot Mississipi vaut .
Une preuve directe est d'utiliser l'avant-dernière expression ci-dessus des coefficients multinomiaux.
Une autre est de raisonner par récurrence sur m, en utilisant la formule du binôme.
Enfin, on peut utiliser le développement en série entière (ou simplement formelle) de l'exponentielle.
Dans les exemples suivants, les indices intervenant dans les diverses sommes sont supposés être distincts et compris entre 1 et n ; s'il n'y a pas de possibilité pour ces indices, la somme est égale à 0 par convention.
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