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Concept
Dimension de Minkowski-Bouligand
Résumé
En géométrie fractale, la dimension de Minkowski-Bouligand, également appelée dimension de Minkowski, dimension box-counting ou capacité, est une manière de déterminer la dimension fractale d'un sous-ensemble S dans un espace euclidien ou, plus généralement, dans un espace métrique.
Pour calculer cette dimension pour une fractale S, placer cette fractale dans un réseau carré et compter le nombre de cases nécessaires pour recouvrir l'ensemble. La dimension de Minkowski est calculée en observant comment ce nombre de cases évolue à mesure que le réseau s'affine à l'infini.
Supposons que N(ε) soit le nombre de cases de côté ε nécessaires pour recouvrir l'ensemble. On souhaite que soit « équivalent, au moins approximativement », à ( et la dimension étant des constantes positives ; cf. l'approche didactique de l'article dimension fractale). Pour trouver , on prend les logarithmes : . D'où . Le second terme disparaît à la limite. Nous pouvons espérer obtenir une définition raisonnable avec ce qui suit :
La dimension de Minkowski est définie par :
Si la limite n'existe pas, alors on parle de dimension supérieure pour la limite supérieure et dimension inférieure pour la limite inférieure. En d'autres termes la dimension de Minkowski n'est bien définie que si ces deux valeurs sont égales. La dimension supérieure est parfois appelée dimension d'entropie, dimension de Kolmogorov ou notée upper box. La limite inférieure est parfois notée lower box.
Les deux sont fortement liées à la dimension de Hausdorff. Dans certains cas, ces trois valeurs sont différentes (voir plus bas pour plus de détails).
La dimension de Minkowski reste identique pour les différents types de recouvrements pour lesquels N(ε) désigne :
le nombre de cases de côté ε, sur un réseau carré, nécessaires pour recouvrir l'ensemble (à droite, sur l'illustration) ;
le plus petit nombre de boules de rayon ε couvrant l'ensemble (au milieu) ;
le plus petit nombre de cubes de côté ε couvrant l'ensemble ;
le plus petit nombre d'ensembles de diamètre au plus ε couvrant l'ensemble ;
le plus grand nombre de boules disjointes de rayon ε centrées sur l'ensemble (à gauche).
Source officielle
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