Fonction holomorphevignette|Une grille et son image par f d'une fonction holomorphe. En analyse complexe, une fonction holomorphe est une fonction à valeurs complexes, définie et dérivable en tout point d'un sous-ensemble ouvert du plan complexe C. Cette condition est beaucoup plus forte que la dérivabilité réelle. Elle entraîne (via la théorie de Cauchy) que la fonction est analytique : elle est infiniment dérivable et est égale, au voisinage de tout point de l'ouvert, à la somme de sa série de Taylor.
Surface de RiemannEn géométrie différentielle et géométrie analytique complexe, une surface de Riemann est une variété complexe de dimension 1. Cette notion a été introduite par Bernhard Riemann pour prendre en compte les singularités et les complications topologiques qui accompagnent certains prolongements analytiques de fonctions holomorphes. Par oubli de structure, une surface de Riemann se présente comme une variété différentielle réelle de dimension 2, d'où le nom surface. Elles ont été nommées en hommage au mathématicien allemand Bernhard Riemann.
Analyse complexeL'analyse complexe est un domaine des mathématiques traitant des fonctions à valeurs complexes (ou, plus généralement, à valeurs dans un C-espace vectoriel) et qui sont dérivables par rapport à une ou plusieurs variables complexes. Les fonctions dérivables sur un ouvert du plan complexe sont appelées holomorphes et satisfont de nombreuses propriétés plus fortes que celles vérifiées par les fonctions dérivables en analyse réelle. Entre autres, toute fonction holomorphe est analytique et vérifie le principe du maximum.
Connexité simpleEn topologie générale et en topologie algébrique, la notion de simple connexité raffine celle de connexe par arcs. Dans un espace connexe par arcs, deux points quelconques peuvent toujours être reliés par un chemin. Dans un espace simplement connexe, cela est toujours possible d'une et une seule façon, l'unicité étant à comprendre au sens de « à déformation (isotopie) près ». Intuitivement, là où un espace connexe est simplement « d'un seul tenant », un espace simplement connexe est de plus sans « trou » ni « poignée ».
