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Concept
Surface de Riemann
Résumé
En géométrie différentielle et géométrie analytique complexe, une surface de Riemann est une variété complexe de dimension 1. Cette notion a été introduite par Bernhard Riemann pour prendre en compte les singularités et les complications topologiques qui accompagnent certains prolongements analytiques de fonctions holomorphes. Par oubli de structure, une surface de Riemann se présente comme une variété différentielle réelle de dimension 2, d'où le nom surface. Elles ont été nommées en hommage au mathématicien allemand Bernhard Riemann. Toute surface réelle orientable peut être munie d'une structure complexe, autrement dit être regardée comme une surface de Riemann. Cela est précisé par le théorème d'uniformisation.
L'étude des surfaces de Riemann est à la croisée de nombreux domaines mathématiques dont, outre la géométrie différentielle, la théorie des nombres, la topologie algébrique, la géométrie algébrique, les équations aux dérivées partielles...
Une surface de Riemann est un espace topologique séparé X, admettant un atlas modelé sur le plan complexe C dont les applications de changement de cartes sont des applications biholomorphes. Autrement dit X admet un recouvrement par des ouverts Ui homéomorphes à des ouverts de C ; ces cartes dites holomorphes sont telles que les fonctions de changement de cartes soient des fonctions holomorphes entre ouverts de C.
On peut ajouter de nouvelles cartes tant qu'elles sont compatibles avec les précédentes au sens où les applications de changement de carte restent holomorphes. De fait, il existe ainsi un atlas maximal pour la surface de Riemann. On identifiera deux structures de surface de Riemann sur un même espace topologique lorsqu'elles sont compatibles, c'est-à-dire conduisent au même atlas maximal.
Si X et Y sont deux surfaces de Riemann, une application de X dans Y est dite holomorphe lorsque, lue dans les cartes holomorphes, elle est holomorphe.
Le plan complexe C s'identifie naturellement à R2. Comme holomorphe implique différentiable, toute surface de Riemann hérite d'une structure de variété différentielle de dimension 2.
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