Catégorie additive

Les catégories additives jouent un rôle essentiel en théorie des catégories. De très nombreuses catégories rencontrées en pratique sont en effet additives. Toute catégorie abélienne (telle que la catégorie des groupes abéliens, ou celle des modules à gauche sur un anneau, ou encore celle des faisceaux de modules sur un espace localement annelé) est additive. Néanmoins, dès qu'on munit d'une topologie des objets appartenant à une catégorie abélienne, et qu'on exige des morphismes qu'ils soient des applications continues, on obtient une catégorie qui n'est généralement plus abélienne, mais qui est souvent additive. Par exemple, la catégorie des espaces vectoriels sur le corps des réels ou des complexes et des applications linéaires est abélienne, en revanche la catégorie des espaces de Banach, celle des espaces de Fréchet, ou encore celle des espaces vectoriels topologiques sur le corps des réels ou des complexes et des applications linéaires continues, est additive mais n'est pas abélienne. On notera que pour qu'une catégorie soit additive, il est nécessaire que chacun de ses objets soit muni d'une structure de groupe abélien ; ainsi par exemple, la catégorie des ensembles, celle des groupes ou celle des espaces topologiques, n'est pas additive. Dans une catégorie, un objet est dit initial si pour tout objet il existe un morphisme unique . De manière duale, un objet est dit final si pour tout objet il existe un morphisme unique . Un objet nul, ou « objet 0 », est un objet qui est à la fois initial et final. Un tel objet, quand il existe, est unique à un isomorphisme près. Par exemple, dans la catégorie des groupes abéliens, l'objet 0 est le groupe trivial. En revanche, dans la catégorie des ensembles, l'ensemble vide est un objet initial, chaque singleton est un objet final, mais il n'existe pas d'objet nul. Soit, dans une catégorie, un objet . Un sous-objet de est un couple tel que est un monomorphisme, appelé l'inclusion de dans . Un sous-objet de n'est donc pas à proprement parler un sous-objet de , sauf si .

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