Localisation d'une catégorie

En mathématiques, et plus précisément en théorie des catégories, la localisation de catégorie est une construction algébrique permettant d'inverser une certaine classe de morphismes. Elle a notamment des applications en topologie algébrique et en géométrie algébrique. Pour une catégorie et une classe de morphismes , la localisation de par rapport à est la catégorie universelle où tous les morphismes de sont inversibles. Plus précisément, la localisation de par rapport à est la donnée d'une catégorie et d'un foncteur tel que pour tout , est inversible dans et tel que pour toute catégorie et foncteur satisfaisant pour tout , est inversible dans il existe un unique foncteur tel que . Cette propriété garantit l'unicité (à isomorphisme près) de la localisation, si elle existe. Si est un ensemble de morphismes, il est possible de construire une localisation de par rapport à : les objets de sont les mêmes que ceux de les morphismes entre deux objets et sont des classes d'équivalence de « zig-zags » dans : avec et des morphismes quelconques de . Un tel « zig-zag » représente la composée . Une classe de morphismes admet un calcul des fractions à gauche si il contient les morphismes identités : , il est stable par composition : , tout diagramme dans , avec peut être complété en un carré commutatif, avec : , pour tous morphismes parallèles tel qu'il existe tel que , alors il existe tel que . Si admet un calcul des fractions, alors la localisation de par rapport à existe et admet une présentation simple : les objets de sont les mêmes que ceux de ; les morphismes entre deux objets et sont des classes d'équivalence de diagrammes dans de la forme : avec et des morphismes quelconques de . Un tel diagramme représente la composée ; deux tels diagrammes et sont équivalents s'il existe et tels que et . Cette relation d'équivalence est similaire à celle intervenant dans la construction du corps des fractions ou, plus généralement, dans une localisation d'un anneau commutatif. La catégorie homotopique associée à un modèle de Quillen est sa localisation par rapport aux équivalences faibles.