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Concept
Convergence absolue
Résumé
En mathématiques, une série numérique réelle ou complexe converge absolument si, par définition, la série des valeurs absolues (ou des modules) est convergente. Cette définition peut être étendue aux séries à valeurs dans un espace vectoriel normé et complet, soit un espace de Banach.
Dans tous ces contextes, cette condition est suffisante pour assurer la convergence de la série elle-même.
Par analogie, l'intégrale d'une fonction à valeurs réelles ou complexes converge absolument si, par définition, l'intégrale de la valeur absolue (ou du module) de la fonction est convergente (fonction dans L1).
La convergence absolue des séries ou des intégrales est étroitement liée à la sommabilité (des familles ou des fonctions) : elle implique des propriétés plus fortes que la simple convergence.
Une série à termes réels ou complexes converge absolument quand la série de terme général converge. Dans ce cas, la série converge elle aussi et l'inégalité triangulaire se généralise en
Si la série est convergente, mais non absolument convergente, elle est dite semi-convergente.
Exemple
La série harmonique alternée est semi-convergente.
Dans le cas où on a affaire à une série de réels, le théorème précédent possède une démonstration élémentaire, qui apporte des informations supplémentaires sur les comportements possibles.
Si les termes de la série sont des réels, on peut séparer les termes positifs et négatifs. Il faut considérer pour cela les termes partie positive et partie négative du terme
Ces deux termes sont positifs, l'un est nul, et l'autre égal à la valeur absolue de . De sorte que
Les séries et étant à termes positifs, leurs suites des sommes partielles sont croissantes ; elles convergent ou bien tendent vers l'infini. Convergence absolue et semi-convergence peuvent être formulées à l'aide de ces deux séries.
Lorsque la série converge absolument, par comparaison de séries positives, les séries et convergent toutes deux, donc par linéarité la série aussi.
Lorsque la série est semi-convergente, nécessairement les deux séries et divergent (chacune a une somme infinie).
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