En analyse, un espace de Banach X a la propriété d’approximation, abrégée en PA, si tout opérateur compact à valeurs dans X (et défini sur un espace de Banach arbitraire) est une limite d’opérateurs bornés de rangs finis. Notons que la réciproque est toujours vraie. Tout espace de Hilbert a cette propriété. Il existe des espaces de Banach qui ne l’ont pas : Per Enflo a publié le premier contre-exemple en 1973, mais beaucoup de travail dans cette direction avait été fait par Alexandre Grothendieck. De nombreux autres contre-exemples ont été ensuite trouvés. Soit X un espace de Banach. Une définition de « X a la PA » équivalente à celle de l'introduction est : pour tout ensemble compact K ⊂ X et tout ε > 0, il existe un opérateur borné de rang fini tel que ║Tx – x║ ≤ ε, pour tout x ∈ K. D’autres variantes de cette propriété sont aussi étudiées en analyse fonctionnelle. Soit 1 ≤ λ < ∞. On dit que X a la propriété de λ-approximation (λ-PA), si pour tout ensemble compact K ⊂ X et tout ε > 0, il existe un opérateur T : X → X de rang fini tel que ║Tx – x║ ≤ ε, pour tout x ∈ K, et ║T║ ≤ λ. On dit que X a la propriété d’approximation bornée (PAB), s’il a la λ-PA pour un λ. On dit que X a la propriété d’approximation métrique (PAM), s’il est 1-PA. On dit que X a la propriété d’approximation compacte (PAC), si dans la définition de PA, « opérateur de rang fini » est remplacé par « opérateur compact ». Si le dual X' de X a la PA (resp. la PAB, la PAM), alors X aussi. Pour un espace réflexif, PA implique PAM. Si l'espace Y et le dual X' de X ont la PA, alors l'espace des opérateurs compacts de X dans Y et celui des l'ont aussi. Tout espace possédant une base de Schauder est séparable et PAB (on peut utiliser les projections associées à la base comme les T de la définition, et invoquer le théorème de Banach-Steinhaus). La réciproque est fausse : il existe même deux espaces réflexifs X et Y tels que Y et X⊕Y ont une base de Schauder, mais pas X. Tous les espaces L (1 ≤ p ≤ ∞) d'un espace mesuré et plus généralement les espaces d'Orlicz, ainsi que leurs ultrapuissances, ont la PAB.

À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.

Graph Chatbot

Chattez avec Graph Search

Posez n’importe quelle question sur les cours, conférences, exercices, recherches, actualités, etc. de l’EPFL ou essayez les exemples de questions ci-dessous.

AVERTISSEMENT : Le chatbot Graph n'est pas programmé pour fournir des réponses explicites ou catégoriques à vos questions. Il transforme plutôt vos questions en demandes API qui sont distribuées aux différents services informatiques officiellement administrés par l'EPFL. Son but est uniquement de collecter et de recommander des références pertinentes à des contenus que vous pouvez explorer pour vous aider à répondre à vos questions.