Propriété d'approximation

En analyse, un espace de Banach X a la propriété d’approximation, abrégée en PA, si tout opérateur compact à valeurs dans X (et défini sur un espace de Banach arbitraire) est une limite d’opérateurs bornés de rangs finis. Notons que la réciproque est toujours vraie. Tout espace de Hilbert a cette propriété. Il existe des espaces de Banach qui ne l’ont pas : Per Enflo a publié le premier contre-exemple en 1973, mais beaucoup de travail dans cette direction avait été fait par Alexandre Grothendieck. De nombreux autres contre-exemples ont été ensuite trouvés. Soit X un espace de Banach. Une définition de « X a la PA » équivalente à celle de l'introduction est : pour tout ensemble compact K ⊂ X et tout ε > 0, il existe un opérateur borné de rang fini tel que ║Tx – x║ ≤ ε, pour tout x ∈ K. D’autres variantes de cette propriété sont aussi étudiées en analyse fonctionnelle. Soit 1 ≤ λ < ∞. On dit que X a la propriété de λ-approximation (λ-PA), si pour tout ensemble compact K ⊂ X et tout ε > 0, il existe un opérateur T : X → X de rang fini tel que ║Tx – x║ ≤ ε, pour tout x ∈ K, et ║T║ ≤ λ. On dit que X a la propriété d’approximation bornée (PAB), s’il a la λ-PA pour un λ. On dit que X a la propriété d’approximation métrique (PAM), s’il est 1-PA. On dit que X a la propriété d’approximation compacte (PAC), si dans la définition de PA, « opérateur de rang fini » est remplacé par « opérateur compact ». Si le dual X' de X a la PA (resp. la PAB, la PAM), alors X aussi. Pour un espace réflexif, PA implique PAM. Si l'espace Y et le dual X' de X ont la PA, alors l'espace des opérateurs compacts de X dans Y et celui des l'ont aussi. Tout espace possédant une base de Schauder est séparable et PAB (on peut utiliser les projections associées à la base comme les T de la définition, et invoquer le théorème de Banach-Steinhaus). La réciproque est fausse : il existe même deux espaces réflexifs X et Y tels que Y et X⊕Y ont une base de Schauder, mais pas X. Tous les espaces L (1 ≤ p ≤ ∞) d'un espace mesuré et plus généralement les espaces d'Orlicz, ainsi que leurs ultrapuissances, ont la PAB.