Espace de suites ℓp

En mathématiques, l'espace est un exemple d'espace vectoriel, constitué de suites à valeurs réelles ou complexes et qui possède, pour 1 ≤ p ≤ ∞, une structure d'espace de Banach. Considérons l'espace vectoriel réel R, c'est-à-dire l'espace des n-uplets de nombres réels. La norme euclidienne d'un vecteur est donnée par : Mais pour tout nombre réel p ≥ 1, on peut définir une autre norme sur R, appelée la p-norme, en posant : pour tout vecteur . Pour tout p ≥ 1, R muni de la p-norme est donc un espace vectoriel normé. Comme il est de dimension finie, il est complet pour cette norme. La p-norme peut être étendue aux vecteurs ayant une infinité dénombrable de composantes, ce qui permet de définir l'espace l (noté aussi l(N) car on peut définir de même l(X) pour n'importe quel ensemble X fini ou infini, le cas où X a n éléments correspondant au paragraphe précédent). Plus précisément, l sera un sous-espace vectoriel de l'espace des suites infinies de nombres réels ou complexes, sur lequel la somme est définie par : et la multiplication par un scalaire par : On définit la p-norme d'une suite : La série de droite n'est pas toujours convergente : par exemple, la suite (1, 1, 1, ...) a une p-norme infinie pour n'importe quel p < ∞. L'espace l est défini comme l'ensemble des suites infinies de nombres réels ou complexes dont la p-norme est finie. On définit aussi la « norme ∞ » comme : et l'espace vectoriel correspondant l est l'espace des suites bornées. Pour tout ensemble X, l'espace l(X) des fonctions bornées sur X (à valeurs réelles ou complexes) est de Banach, c'est-à-dire que toute suite uniformément de Cauchy de fonctions bornées sur X converge uniformément (vers une fonction bornée). De même, pour 1 ≤ p ≤ ∞, l(N) est de Banach. (Ce sont deux cas particuliers du théorème de Riesz-Fischer, qui concerne tous les espaces L.) Dans l, un sous-espace remarquable est l'espace c des suites convergentes.