Série d'Edgeworth

La série A de Gram-Charlier (nommée en l'honneur de Jørgen Pedersen Gram et Carl Charlier) et la série d'Edgeworth (nommée en l'honneur de Francis Ysidro Edgeworth) sont des séries qui se rapprochent d'une distribution de probabilité exprimée à partir de ses cumulants . Les séries sont identiques, mais l'arrangement des termes (et donc la précision de la troncature de la série) diffère. Le principe de ces développements est d'écrire la fonction caractéristique de la distribution dont la fonction de densité de probabilité f doit être approchée en fonction de la fonction caractéristique d'une distribution avec des propriétés connues et appropriées, et de récupérer f par une transformée de Fourier inverse. On considère une variable aléatoire continue. On note la fonction caractéristique de sa distribution dont la fonction de densité est f, et ses cumulants. On développe en termes de distribution connue avec la fonction de densité de probabilité , sa fonction caractéristique , et ses cumulants . La densité est généralement choisie comme étant celle de la distribution normale, mais d'autres choix sont également possibles. Par la définition des cumulants, on a (voir Wallace, 1958) : et qui donne l'identité formelle suivante : Par les propriétés de la transformée de Fourier, est la transformée de Fourier de , où D est l'opérateur différentiel par rapport à x . Ainsi, après avoir changé avec des deux côtés de l'équation, on trouve pour f le développement formel Si est choisi comme la densité normale avec la moyenne et la variance données par f, c'est-à-dire comme moyenne et comme variance , alors le développement devient puisque pour tout r > 2, car les cumulants d'ordres supérieurs de la distribution normale sont nuls. En développant les termes exponentiels et réunissant les termes selon l'ordre des dérivées, on arrive à la série A de Gram-Charlier.