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Concept
Méthode de Laplace
Résumé
En mathématiques, la méthode de Laplace, due à Pierre-Simon de Laplace, est une méthode pour l'évaluation numérique d'intégrales de la forme :
où f est une fonction deux fois dérivable, M est un grand nombre réel et les bornes a et b peuvent éventuellement être infinies.
vignette|Illustration de la méthode de Laplace : en noir, la fonction f(x), et en rouge, e avec M = 3 : on remarque que seule l'aire sous la courbe à intégrer près du maximum de (pointillés) est significative.
Pour M > 0, si l'on suppose que la fonction f admet un unique maximum au point alors pour M grand, seuls les points au voisinage de x contribuent de façon significative à l'intégrale :
Si M est négatif, en considérant –M et –f on peut se ramener à considérer les maximums de –f donc les minimums de f.
Pour appliquer la méthode de Laplace, un certain nombre de conditions sont requises. Le point x ne doit pas être l'une des bornes de l'intégrale et f(x) ne peut s'approcher de la valeur f(x) qu'au voisinage de x.
Par application du théorème de Taylor, au voisinage de x, f(x) s'écrit :
Puisque f admet un maximum en x, qui n'est pas l'une des bornes de l'intégrale, et , on a alors dans un voisinage de x :
Et pour l'intégrale :
La deuxième intégrale peut être estimée à l'aide d'une intégrale de Gauss en remplaçant les bornes a et b par -∞ et +∞ et l'on a alors :
Le remplacement des bornes par -∞ et +∞ est numériquement valide car, quel que soit est un
Les deux conditions demandées pour effectuer cette méthode ne sont pas nécessairement requises et il existe des généralisations pour le cas où x est l'une des bornes en utilisant un développement au premier ordre autour de x ainsi que par découpage d'intégrale pour le cas où deux, ou un nombre fini, de maximums locaux de f auraient des valeurs proches. La méthode du point col permet également une généralisation pour
La méthode de Laplace peut être employée pour démontrer la formule de Stirling :
Pour N grand :
Par définition de la fonction gamma, on a
Avec le changement de variable x = Nz on obtient :
En considérant la fonction f(z) = ln(z) – z, qui est deux fois dérivable :
on voit que f atteint son maximum en z = 1 et sa dérivée seconde vaut –1 en 1 ; on a alors avec la méthode de Laplace :
J.
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