Développement asymptotique

En mathématiques, un développement asymptotique d'une fonction f donnée dans un voisinage fixé est une somme finie de fonctions de référence qui donne une bonne approximation du comportement de la fonction f dans le voisinage considéré. Le concept de développement asymptotique a été introduit par Poincaré à propos de l'étude du problème à N corps de la mécanique céleste par la théorie des perturbations. La somme étant finie, la question de la convergence ne se pose pas. On parle parfois par abus de langage de « série asymptotique » pour une somme comprenant une infinité de termes. Cette somme infinie est le plus souvent formelle, car la série est en général divergente. Comparaison asymptotique L'analyse asymptotique est une méthode d'analyse qui permet de classer les comportements de fonctions dans un voisinage donné en se concentrant sur certaines « tendances caractéristiques ». On l'exprime en général au moyen d'un équivalent au voisinage considéré. Par exemple, soient deux fonctions complexes f et g d'une variable réelle, dont on souhaite étudier le comportement au voisinage d'un point x. On écrira : pour traduire le fait que : Ceci définit une relation d'équivalence entre fonctions, et la classe d'équivalence de la fonction f consiste en toutes les fonctions qui possèdent un « comportement similaire » à f au voisinage de x. On est ainsi amené à définir un ensemble de fonctions « simples », qui vont servir de référence pour établir des comparaisons. Remarquons tout d'abord qu'on peut toujours se ramener à étudier le voisinage de +∞. En effet, étudier le comportement de f au voisinage de x est équivalent à étudier le comportement de : au voisinage de +∞. On peut donc se limiter à un ensemble de fonctions de comparaison dans un voisinage de +∞.