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Concept
Équation de diffusion
Résumé
Léquation de diffusion est une équation aux dérivées partielles. En physique, elle décrit le comportement du déplacement collectif de particules (molécules, atomes, photons. neutrons, etc.) ou de quasi-particules comme les phonons dans un milieu causé par le mouvement aléatoire de chaque particule lorsque les échelles de temps et d'espace macroscopiques sont grandes devant leurs homologues microscopiques. Dans le cas contraire le problème est décrit par l'équation de Boltzmann. En mathématiques, l'une ou l'autre de ces descriptions s'applique à tout sujet relevant du processus de Markov comme dans d'autres champs, telles que les sciences matérielles, la science de l’information, de la vie, sociales, etc. On parle alors plutôt de processus brownien.
avec :
la grandeur qui se diffuse, par exemple la concentration particulaire ;
le coefficient de diffusion collectif associé à .
Si le coefficient de diffusion est une fonction de , alors l'équation de diffusion n'est pas linéaire.
Plus généralement, quand est une matrice définie positive symétrique, l’équation décrit une diffusion anisotrope :
Dans le cas où est constant, l'équation se réduit à l'équation de la chaleur :
avec :
l'opérateur laplacien.
Plus généralement lorsqu'il existe plusieurs types de particules dans le milieu et plusieurs sources pour la diffusion le système est décrit par un système linéaire comme dans le cas des équations de Stefan-Maxwell.
Diffusion de la matière
De nombreux phénomènes physiques, dans des domaines scientifiques différents, se décrivent mathématiquement par les équations de diffusion, qui traduisent l'évolution d'un processus de Markov en relation avec la loi normale. En physique, le déplacement de particules diffusées correspond au mouvement brownien satisfaisant la loi parabolique. Leur utilisation peut cependant être étendu à des domaines plus éloignés. Ainsi, les équations de diffusion sont utilisés en science des matériaux, pour la relation d'équilibre local entre défauts dans les cristaux de silicone, ou en biologie, pour l'équilibre prédateur-proie.
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