Semisimple Lie algebraIn mathematics, a Lie algebra is semisimple if it is a direct sum of simple Lie algebras. (A simple Lie algebra is a non-abelian Lie algebra without any non-zero proper ideals). Throughout the article, unless otherwise stated, a Lie algebra is a finite-dimensional Lie algebra over a field of characteristic 0. For such a Lie algebra , if nonzero, the following conditions are equivalent: is semisimple; the Killing form, κ(x,y) = tr(ad(x)ad(y)), is non-degenerate; has no non-zero abelian ideals; has no non-zero solvable ideals; the radical (maximal solvable ideal) of is zero.
Simple Lie groupIn mathematics, a simple Lie group is a connected non-abelian Lie group G which does not have nontrivial connected normal subgroups. The list of simple Lie groups can be used to read off the list of simple Lie algebras and Riemannian symmetric spaces. Together with the commutative Lie group of the real numbers, , and that of the unit-magnitude complex numbers, U(1) (the unit circle), simple Lie groups give the atomic "blocks" that make up all (finite-dimensional) connected Lie groups via the operation of group extension.
Groupe compactEn mathématiques, et plus particulièrement en analyse harmonique abstraite, un groupe compact est un groupe topologique dont l'espace topologique sous-jacent est compact. Les groupes compacts sont des groupes unimodulaires, dont la compacité simplifie l'étude. Ces groupes comprennent notamment les groupes finis et les groupes de Lie compacts. Tout groupe compact est limite projective de groupes de Lie compacts. Tout groupe discret fini est un groupe compact. En effet, tout espace discret fini est compact.
F4 (mathématiques)En mathématiques, F4 est un groupe de Lie exceptionnel de type complexe. Son algèbre de Lie est notée . F4 est de rang 4 et de dimension 52. Sa forme compacte est simplement connexe et son groupe d'automorphismes est le groupe trivial. Sa représentation fondamentale est de dimension 26. La forme compacte réelle de F4 est le groupe d'isométries d'une variété riemannienne de dimension 16, connu également sous le nom de plan projectif octonionique, OP2, ou plan de Cayley.
E6 (mathématiques)En mathématiques, E6 est le nom d'un groupe de Lie ; son algèbre de Lie est notée . Il s'agit de l'un des cinq groupes de Lie complexes de type exceptionnel. E6 est de rang 6 et de dimension 78. Le groupe fondamental de sa forme compacte est le groupe cyclique Z3 et son groupe d'automorphismes est le groupe cyclique Z2. Sa représentation fondamentale est de dimension complexe 27. Sa représentation duale est également de dimension 27. Une certaine forme non compacte réelle de E6 est le groupe des collinéations du plan projectif octonionique OP2, ou plan de Cayley.
Groupe réductifEn mathématiques, un groupe réductif est un groupe algébrique G sur un corps algébriquement clos tel que le radical unipotent de G (c'est-à-dire le sous-groupe des éléments unipotents de ) soit trivial. Tout est réductif, de même que tout tore algébrique et tout groupe général linéaire. Plus généralement, sur un corps k non nécessairement algébriquement clos, un groupe réductif est un groupe algébrique affine lisse G tel que le radical unipotent de G sur la clôture algébrique de k soit trivial.
E8 latticeIn mathematics, the E_8 lattice is a special lattice in R^8. It can be characterized as the unique positive-definite, even, unimodular lattice of rank 8. The name derives from the fact that it is the root lattice of the E_8 root system. The norm of the E_8 lattice (divided by 2) is a positive definite even unimodular quadratic form in 8 variables, and conversely such a quadratic form can be used to construct a positive-definite, even, unimodular lattice of rank 8. The existence of such a form was first shown by H.
Coxeter elementIn mathematics, the Coxeter number h is the order of a Coxeter element of an irreducible Coxeter group. It is named after H.S.M. Coxeter. Note that this article assumes a finite Coxeter group. For infinite Coxeter groups, there are multiple conjugacy classes of Coxeter elements, and they have infinite order. There are many different ways to define the Coxeter number h of an irreducible root system. A Coxeter element is a product of all simple reflections.
E7 (mathématiques)En mathématiques, E7 est le nom d'un groupe de Lie complexe de type exceptionnel. Son algèbre de Lie est notée . E7 est de rang 7 et de dimension 133. Le groupe fondamental de sa forme compacte est le groupe cyclique Z2. sa représentation fondamentale est de dimension 56. La forme compacte réelle de E7 est le groupe d'isométries d'une variété riemannienne de dimension 64 appelée plan projectif quateroctionique. Ce nom vient du fait qu'il peut être construit en utilisant une algèbre qui est construite comme produit tensoriel des quaternions avec les octonions.
Dynkin diagramIn the mathematical field of Lie theory, a Dynkin diagram, named for Eugene Dynkin, is a type of graph with some edges doubled or tripled (drawn as a double or triple line). Dynkin diagrams arise in the classification of semisimple Lie algebras over algebraically closed fields, in the classification of Weyl groups and other finite reflection groups, and in other contexts. Various properties of the Dynkin diagram (such as whether it contains multiple edges, or its symmetries) correspond to important features of the associated Lie algebra.
