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Concept
Groupe compact
Résumé
En mathématiques, et plus particulièrement en analyse harmonique abstraite, un groupe compact est un groupe topologique dont l'espace topologique sous-jacent est compact. Les groupes compacts sont des groupes unimodulaires, dont la compacité simplifie l'étude. Ces groupes comprennent notamment les groupes finis et les groupes de Lie compacts. Tout groupe compact est limite projective de groupes de Lie compacts.
Tout groupe discret fini est un groupe compact. En effet, tout espace discret fini est compact.
Tout sous-groupe discret d'un groupe compact est un groupe fini. En effet, toute partie discrète d'un compact est finie.
Des groupes compacts peuvent se construire en utilisant les méthodes générales de construction des groupes topologiques :
Tout produit direct de groupes compacts est un groupe compact.
Tout sous-groupe fermé d'un groupe compact est un groupe compact.
Le groupe topologique quotient d'un groupe compact par un sous-groupe normal fermé est compact.
Si un morphisme de groupes topologiques est propre et si le groupe de départ est alors son noyau est un groupe quasi-compact (donc compact, s'il est séparé).
Toute limite projective de groupes compacts (en particulier tout groupe profini) est un groupe compact.
Un groupe de Lie compact est un groupe de Lie (réel ou complexe) dont l'espace topologique sous-jacent est compact. Parmi eux, on peut citer les groupes de Lie classiques compacts, dont voici des exemples :
le groupe orthogonal On(R), de dimension n(n – 1)/2 ;
le groupe spécial orthogonal SOn(R), qui est sa ;
le groupe unitaire Un(C), de dimension n ;
le groupe spécial unitaire SUn(C), de dimension n – 1 ;
le groupe symplectique compact Sp(n), de dimension n(2n + 1) ;
le groupe spinoriel Spin(n), qui est un revêtement double de SOn(R).
Par ailleurs, chacun des cinq groupes de Lie exceptionnels possède une forme compacte.
Il est à remarquer qu'un groupe de Lie compact complexe est nécessairement commutatif.
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Proximité ontologique