En mathématiques, et plus particulièrement en analyse harmonique abstraite, un groupe compact est un groupe topologique dont l'espace topologique sous-jacent est compact. Les groupes compacts sont des groupes unimodulaires, dont la compacité simplifie l'étude. Ces groupes comprennent notamment les groupes finis et les groupes de Lie compacts. Tout groupe compact est limite projective de groupes de Lie compacts.
Tout groupe discret fini est un groupe compact. En effet, tout espace discret fini est compact.
Tout sous-groupe discret d'un groupe compact est un groupe fini. En effet, toute partie discrète d'un compact est finie.
Des groupes compacts peuvent se construire en utilisant les méthodes générales de construction des groupes topologiques :
Tout produit direct de groupes compacts est un groupe compact.
Tout sous-groupe fermé d'un groupe compact est un groupe compact.
Le groupe topologique quotient d'un groupe compact par un sous-groupe normal fermé est compact.
Si un morphisme de groupes topologiques est propre et si le groupe de départ est alors son noyau est un groupe quasi-compact (donc compact, s'il est séparé).
Toute limite projective de groupes compacts (en particulier tout groupe profini) est un groupe compact.
Un groupe de Lie compact est un groupe de Lie (réel ou complexe) dont l'espace topologique sous-jacent est compact. Parmi eux, on peut citer les groupes de Lie classiques compacts, dont voici des exemples :
le groupe orthogonal On(R), de dimension n(n – 1)/2 ;
le groupe spécial orthogonal SOn(R), qui est sa ;
le groupe unitaire Un(C), de dimension n ;
le groupe spécial unitaire SUn(C), de dimension n – 1 ;
le groupe symplectique compact Sp(n), de dimension n(2n + 1) ;
le groupe spinoriel Spin(n), qui est un revêtement double de SOn(R).
Par ailleurs, chacun des cinq groupes de Lie exceptionnels possède une forme compacte.
Il est à remarquer qu'un groupe de Lie compact complexe est nécessairement commutatif.
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We will discuss the basic structure of Lie groups and of their associated Lie algebras along with their finite dimensional representations and with a special emphasis on matrix Lie groups.
This course is an introduction to the theory of Riemann surfaces. Riemann surfaces naturally appear is mathematics in many different ways: as a result of analytic continuation, as quotients of complex
Le cinquième problème de Hilbert fait partie de la liste des vingt-trois problèmes posés par David Hilbert en 1900, et concerne la caractérisation des groupes de Lie. Il s'agissait (dans un langage moderne et en interprétant la question, puisqu'à l'époque la notion précise de variété différentielle n'existait pas) de démontrer que dans la définition d'un groupe de Lie, la condition de différentiabilité est redondante.
La théorie des représentations est une branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques abstraites en représentant leurs éléments comme des transformations linéaires d'espaces vectoriels, et qui étudie les modules sur ces structures algébriques abstraites. Essentiellement, une représentation concrétise un objet algébrique abstrait en décrivant ses éléments par des matrices et les opérations sur ces éléments en termes d'addition matricielle et de produit matriciel.
En mathématiques, G2 est le plus petit des groupes de Lie complexes de type exceptionnel. Son algèbre de Lie est notée . G2 est de rang 2 et de dimension 14. Sa forme compacte est simplement connexe, et sa forme déployée a un groupe fondamental d'ordre 2. Son groupe d'automorphismes est le groupe trivial. Sa représentation fondamentale est de dimension 7. La forme compacte de G2 peut être décrite comme le groupe d'automorphismes de l'algèbre octonionique. (1,−1,0),(−1,1,0) (1,0,−1),(−1,0,1) (0,1,−1),(0,−1,
Let G be a simple linear algebraic group defined over an algebraically closed field of characteristic p ≥ 0 and let φ be a nontrivial p-restricted irreducible representation of G. Let T be a maximal torus of G and s ∈ T . We say that s is Ad-regular if α(s ...
Ulam asked whether every connected Lie group can be represented on a countable structure. This is known in the linear case. We establish it for the first family of non-linear groups, namely in the nilpotent case. Further context is discussed to illustrate ...
Encouraging a modal shift from individual transportation to less polluting modes such as public transport, walking and cycling, is now a key recommendation of the UN to reach the goals set by the Paris Agreement. Achieving this ambitious goal requires a de ...