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Concept
Trigonométrie sphérique
Résumé
La trigonométrie sphérique est un ensemble de relations analogues à celles de la trigonométrie euclidienne mais portant sur les angles et distances repérés sur une sphère.
La figure de base est le triangle sphérique, délimité non plus par des segments de droites mais par des arcs de demi-grands cercles de cette sphère. Les règles habituelles de la trigonométrie euclidienne ne sont pas applicables ; par exemple la somme des angles d'un triangle situé sur une sphère, s'ils sont exprimés en degrés, est supérieure à 180 degrés.
vignette|upright=1.3|Triangle sphérique avec ses grands cercles et ses angles au centre (l’angle a s’identifie à BC si on suppose le rayon égal à 1)
On considère trois points A, B et C sur une sphère comme représentés par la figure ci-contre, ainsi que les arcs de grands cercles qui les relient. On note α (parfois l'angle du triangle au sommet A, et de façon analogue pour les autres sommets. On note a, b et c les angles sous-tendus au centre O de la sphère par la partie de grand cercle correspondante. Ainsi a désigne l'angle , etc.
Bien entendu les longueurs se déduisent de a, b et c en les multipliant par le rayon de la sphère, quand les angles sont exprimés en radians (ou en les multipliant par πR/180 quand ils sont exprimés en degrés).
La somme des angles d'un triangle sphérique peut varier entre 180 et 540° (entre π et 3π radians).
Par la suite, ne seront considérés que des triangles non dégénérés (dont tous les angles sont strictement compris entre l'angle nul et l'angle plat).
L'une des relations les plus importantes de la trigonométrie sphérique, donnée par François Viète en 1593 dans son De Varorium est la formule des cosinus, qui relie la longueur d'un côté à celles de deux autres côtés ainsi qu'à l'angle entre eux :
qu'il ne faut pas confondre avec la relation duale, obtenue en remplaçant dans cette relation tous les grands cercles par leurs points polaires :
La formule des cosinus se démontre de plusieurs façons.
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