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Concept
Équation aux dérivées partielles elliptique
Résumé
En mathématiques, une équation aux dérivées partielles linéaire du second ordre, dont la forme générale est donnée par :
:\sum_{i,j=1}^n {a_{ij}(\mathbf x)\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}} + \sum_{i=1}^n{b_i(\mathbf x)\dfrac{\partial f}{\partial x_i}} + c(\mathbf x)f=h(\mathbf x),\ \ \ \mathbf x\in U \subset \R^n
est dite elliptique en un point donné x de l'ouvert U si la matrice carrée symétrique A(\mathbf x) =\left(a_{ij}\right)_{1\leq i,j \leq n} des coefficients du second ordre admet des valeurs propres non nulles et de même signe.
Exemples
En physique, les équations de Laplace, \Delta V = 0 et de Poisson \Delta V +\frac{\rho}{\epsilon_0}=0 pour le potentiel électrostatique V=V(\mathbf r) respectivement dans le vide et pour la distribution de charges \rho=\rho(\mathbf r) sont de type elliptique. En effet la matrice A est ici la matrice unité, et donc ses valeurs propres sont t
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