Ordinal analysisIn proof theory, ordinal analysis assigns ordinals (often large countable ordinals) to mathematical theories as a measure of their strength. If theories have the same proof-theoretic ordinal they are often equiconsistent, and if one theory has a larger proof-theoretic ordinal than another it can often prove the consistency of the second theory. The field of ordinal analysis was formed when Gerhard Gentzen in 1934 used cut elimination to prove, in modern terms, that the proof-theoretic ordinal of Peano arithmetic is ε0.
EquiconsistencyIn mathematical logic, two theories are equiconsistent if the consistency of one theory implies the consistency of the other theory, and vice versa. In this case, they are, roughly speaking, "as consistent as each other". In general, it is not possible to prove the absolute consistency of a theory T. Instead we usually take a theory S, believed to be consistent, and try to prove the weaker statement that if S is consistent then T must also be consistent—if we can do this we say that T is consistent relative to S.
Arithmétique du second ordreEn logique mathématique, l'arithmétique du second ordre est une théorie des entiers naturels et des ensembles d'entiers naturels. Elle a été introduite par David Hilbert et Paul Bernays dans leur livre Grundlagen der Mathematik. L'axiomatisation usuelle de l'arithmétique du second ordre est notée Z2. L'arithmétique de second ordre a pour conséquence les théorèmes de l'arithmétique de Peano (du premier ordre), mais elle est à la fois plus forte et plus expressive que celle-ci.
Gentzen's consistency proofGentzen's consistency proof is a result of proof theory in mathematical logic, published by Gerhard Gentzen in 1936. It shows that the Peano axioms of first-order arithmetic do not contain a contradiction (i.e. are "consistent"), as long as a certain other system used in the proof does not contain any contradictions either. This other system, today called "primitive recursive arithmetic with the additional principle of quantifier-free transfinite induction up to the ordinal ε0", is neither weaker nor stronger than the system of Peano axioms.
MetamathematicsMetamathematics is the study of mathematics itself using mathematical methods. This study produces metatheories, which are mathematical theories about other mathematical theories. Emphasis on metamathematics (and perhaps the creation of the term itself) owes itself to David Hilbert's attempt to secure the foundations of mathematics in the early part of the 20th century. Metamathematics provides "a rigorous mathematical technique for investigating a great variety of foundation problems for mathematics and logic" (Kleene 1952, p.
Mathématiques à reboursLes mathématiques à rebours sont une branche des mathématiques qui pourrait être définie simplement par l'idée de « remonter aux axiomes à partir des théorèmes », contrairement au sens habituel (des axiomes vers les théorèmes). Un peu plus précisément, il s'agit d'évaluer la robustesse logique d'un ensemble de résultats mathématiques usuels en déterminant exactement quels axiomes sont nécessaires et suffisants pour les prouver. Le domaine a été créé par Harvey Friedman dans son article « Some systems of second order arithmetic and their use ».
Dialectica interpretationIn proof theory, the Dialectica interpretation is a proof interpretation of intuitionistic logic (Heyting arithmetic) into a finite type extension of primitive recursive arithmetic, the so-called System T. It was developed by Kurt Gödel to provide a consistency proof of arithmetic. The name of the interpretation comes from the journal Dialectica, where Gödel's paper was published in a 1958 special issue dedicated to Paul Bernays on his 70th birthday.
FinitismeLe finitisme est une philosophie des mathématiques qui ne prend en considération que les objets mathématiques finis. On peut faire la comparaison avec la philosophie des mathématiques traditionnelle où les objets mathématiques infinis (par exemple, ensembles infinis) sont aussi légitimes que les autres. L'idée principale des mathématiques finitistes est le fait de ne pas accepter l'existence d'objets infinis, tels que des ensembles infinis.
Hilbert's second problemIn mathematics, Hilbert's second problem was posed by David Hilbert in 1900 as one of his 23 problems. It asks for a proof that the arithmetic is consistent – free of any internal contradictions. Hilbert stated that the axioms he considered for arithmetic were the ones given in , which include a second order completeness axiom. In the 1930s, Kurt Gödel and Gerhard Gentzen proved results that cast new light on the problem. Some feel that Gödel's theorems give a negative solution to the problem, while others consider Gentzen's proof as a partial positive solution.
Cohérence (logique)En logique mathématique, la cohérence, ou consistance, d'une théorie axiomatique peut se définir de deux façons, soit par référence à la déduction : il n'est pas possible de tout démontrer à partir des axiomes de la théorie, soit par référence à la sémantique de la théorie : celle-ci possède des réalisations qui lui donnent un sens. La première définition est syntaxique au sens où elle utilise des déductions ou démonstrations, qui sont des objets finis.
