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Concept
Cohérence (logique)
Résumé
En logique mathématique, la cohérence, ou consistance, d'une théorie axiomatique peut se définir de deux façons, soit par référence à la déduction : il n'est pas possible de tout démontrer à partir des axiomes de la théorie, soit par référence à la sémantique de la théorie : celle-ci possède des réalisations qui lui donnent un sens.
La première définition est syntaxique au sens où elle utilise des déductions ou démonstrations, qui sont des objets finis. Une théorie est dite dans ce sens cohérente ou consistante quand elle n'a pas pour conséquence tous les énoncés du langage dans lequel est exprimé la théorie, ou, de façon équivalente (car d'une contradiction on déduit n'importe quoi), quand elle ne permet pas de démontrer à la fois un énoncé et sa négation. Une telle théorie est dite également non-contradictoire.
La seconde définition utilise la théorie des modèles : une théorie est cohérente quand elle possède un modèle, soit une structure mathématique dans laquelle s'interprètent les termes du langage, et qui satisfait tous les axiomes de la théorie, dit autrement il existe une structure telle que tous les axiomes de la théorie sont vrais dans cette structure.
Ces deux définitions sont équivalentes par le théorème de correction et le théorème de complétude. Le premier a pour conséquence que tous les énoncés démontrables d'une théorie sont satisfaits par une structure qui satisfait les axiomes, et donc une théorie cohérente au sens sémantique est cohérente au sens syntaxique, car une structure ne peut satisfaire à la fois un énoncé et sa négation. Le théorème de complétude indique qu'une théorie cohérente au sens syntaxique possède un modèle, c'est-à-dire qu'elle est cohérente au sens sémantique. Ces deux théorèmes se démontrent en logique classique, en calcul des prédicats du premier ordre.
L’absence de contradiction peut être abordé et définie de deux manières :
d’un point de vue sémantique : on considère qu’une théorie est cohérente si elle possède un modèle, c’est-à-dire s’il existe une interprétation sous laquelle toutes les formules de la théorie sont vraies.
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