Cofinalité

Considérons un ensemble A muni d'une relation binaire ≤. Un sous-ensemble B de A est dit cofinal si : pour tout élément a de A, il existe un élément b de B tel que a ≤ b ; ∀ a ∈ A, ∃ b ∈ B \ a ≤ b. La cofinalité de l'ensemble A est le cardinal du plus petit sous-ensemble cofinal de A. La cofinalité d'un ordinal limite est le plus petit ordinal tel qu'il existe une fonction non majorée. Cet ordinal est usuellement noté ou . Intuitivement, est le plus petit nombre de pas à faire pour arriver au bout de . Par exemple, on peut aller au bout de en pas, avec la fonction identité, mais on ne peut pas aller au bout de en un nombre fini de pas. On a donc . Un cardinal qui est égal à sa cofinalité, comme ici, , est appelé cardinal régulier. De même, on peut aller au bout de en pas mais on ne peut pas le faire en un nombre dénombrable de pas. On a donc ; qui est donc aussi un cardinal régulier. En revanche, on peut aller au bout de en pas, avec la fonction définie par , donc . Un cardinal qui n'est pas régulier, c'est-à-dire qui n'est pas égal à sa cofinalité, comme ici est appelé cardinal singulier. Pour tout ordinal limite , on a les propriétés suivantes : existe ; est un cardinal ; est régulier, autrement dit ; Si et alors est borné ; si est un ordinal limite, alors ; par exemple, . Pour tout cardinal infini , on a les propriétés suivantes : c'est une conséquence du théorème de König ; pour tout cardinal , ; pour et , on obtient , on a donc en particulier ; ceci est également une conséquence du théorème de König. La cofinalité des cardinaux permet de mettre en évidence certaines différences de comportements. Par exemple, vis-à-vis de l'exponentiation cardinale, a essentiellement prouvé que, pour les cardinaux réguliers, les seules contraintes prouvables dans sur la fonction sont et . Pour les cardinaux singuliers, la situation est différente. Notamment, a démontré que si est singulier et de cofinalité non dénombrable, et si pour tout , alors .