Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur GraphSearch.
Concept
Cofinalité
Résumé
Considérons un ensemble A muni d'une relation binaire ≤. Un sous-ensemble B de A est dit cofinal si :
pour tout élément a de A, il existe un élément b de B tel que a ≤ b ;
∀ a ∈ A, ∃ b ∈ B \ a ≤ b.
La cofinalité de l'ensemble A est le cardinal du plus petit sous-ensemble cofinal de A.
La cofinalité d'un ordinal limite est le plus petit ordinal tel qu'il existe une fonction non majorée. Cet ordinal est usuellement noté ou .
Intuitivement, est le plus petit nombre de pas à faire pour arriver au bout de .
Par exemple, on peut aller au bout de en pas, avec la fonction identité, mais on ne peut pas aller au bout de en un nombre fini de pas. On a donc .
Un cardinal qui est égal à sa cofinalité, comme ici, , est appelé cardinal régulier.
De même, on peut aller au bout de en pas mais on ne peut pas le faire en un nombre dénombrable de pas. On a donc ; qui est donc aussi un cardinal régulier.
En revanche, on peut aller au bout de en pas, avec la fonction définie par , donc .
Un cardinal qui n'est pas régulier, c'est-à-dire qui n'est pas égal à sa cofinalité, comme ici est appelé cardinal singulier.
Pour tout ordinal limite , on a les propriétés suivantes :
existe ;
est un cardinal ;
est régulier, autrement dit ;
Si et alors est borné ;
si est un ordinal limite, alors ; par exemple, .
Pour tout cardinal infini , on a les propriétés suivantes :
c'est une conséquence du théorème de König ;
pour tout cardinal , ; pour et , on obtient , on a donc en particulier ; ceci est également une conséquence du théorème de König.
La cofinalité des cardinaux permet de mettre en évidence certaines différences de comportements. Par exemple, vis-à-vis de l'exponentiation cardinale, a essentiellement prouvé que, pour les cardinaux réguliers, les seules contraintes prouvables dans sur la fonction sont et . Pour les cardinaux singuliers, la situation est différente. Notamment, a démontré que si est singulier et de cofinalité non dénombrable, et si pour tout , alors .
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.