Introduction aux mathématiques de la relativité générale

Les mathématiques de la relativité générale sont complexes. Dans la théorie du mouvement de Newton, la longueur d'un objet et la vitesse à laquelle le temps s'écoule restent constantes même lorsque l'objet accélère. Cela signifie que de nombreux problèmes de mécanique newtonienne peuvent être résolus uniquement en utilisant l'algèbre. Mais en relativité, la longueur d'un objet et la vitesse à laquelle le temps s'écoule changent sensiblement à mesure que la vitesse de l'objet se rapproche de la vitesse de la lumière. Pour cette raison, il est nécessaire d'introduire davantage de variables et des lois mathématiques plus compliquées pour calculer le mouvement de l'objet. En conséquence, la relativité nécessite l'utilisation de concepts tels que les vecteurs, les tenseurs, les et les coordonnées curvilignes. droite|vignette| Illustration d'un vecteur typique En mathématiques, en physique et en ingénierie, un vecteur est un objet géométrique qui a à la fois une longueur (ou norme) et une direction. Un vecteur est ce qui permet de « transporter » un point A vers un point B ; le mot latin « vector » signifie « celui qui porte ». On le note , ou simplement . La longueur du vecteur est la distance entre les deux points, et la direction fait référence à la direction du déplacement de A vers B. De nombreuses opérations algébriques que l'on a l'habitude d'utiliser avec les nombres réels, telles que l'addition, la soustraction, la multiplication et la négation, ont des analogues pour les vecteurs. Ces opérations obéissent aux lois algébriques familières de la commutativité, de l'associativité et de la distributivité. droite|vignette|300x300px| La contrainte est un tenseur de deuxième ordre qui représente la réponse d'un matériau à une force appliquée suivant une certaine direction. Les deux directions du tenseur représentent la force « normale » (perpendiculaire à la surface) et la force « de cisaillement » (parallèle à la surface). Un tenseur est une extension du concept de vecteur à des directions supplémentaires.