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Concept
Tenseur d'Einstein
Résumé
En géométrie différentielle, le tenseur d'Einstein est utilisé pour exprimer la courbure d'une variété pseudo-riemannienne.
En relativité générale, il apparaît dans l'équation du champ d'Einstein, pour décrire comment le champ gravitationnel est affecté par la présence de matière.
L'éponyme du tenseur d'Einstein est le physicien Albert Einstein (-) qui l'a construit au cours de l'élaboration de la relativité générale. L'historien des sciences néerlandais Jeroen van Dongen présente le tenseur comme la réponse d'Einstein à la question de savoir :
Le tenseur d'Einstein étant un tenseur de courbure, il est aussi connu comme le tenseur de courbure d'Einstein ; et, Einstein l'ayant construit avec le tenseur (de courbure) de Ricci, il est aussi connu comme le tenseur (de courbure) de Ricci-Einstein.
À la suite d'Einstein, le tenseur est usuellement noté . Mais, comme il n'existe pas de notation normalisée, les notations , ou peuvent se rencontrer.
Le tenseur d'Einstein est un tenseur d’ordre 2, ce qui schématiquement signifie que l’on peut le représenter sous forme d’une matrice, qui possède 4 lignes et 4 colonnes, autant que les coordonnées de l’espace-temps dans lequel nous vivons. Il se déduit du tenseur de Ricci par la formule
étant le tenseur d’Einstein, le tenseur de Ricci, la métrique riemannienne de l’espace-temps, et R la courbure scalaire, c’est-à-dire la trace du tenseur de Ricci.
En deux dimensions, il s'écrit :
ou
Ces deux expressions sont égales et même nulles car on a :
On aurait de même . Le tenseur d'Einstein d'une surface est identiquement nul, au contraire du tenseur de Riemann, ce qu'on vérifie sur la sphère.
Les principales propriétés du tenseur d'Einstein sont les suivantes :
Il s'annule lorsque l'espace-temps est plat ;
Il est construit à partir du tenseur de Riemann et du tenseur métrique ;
Il se distingue des autres tenseurs ainsi construits par les propriétés suivantes :
Il est linéaire en Riemann ;
Il est symétrique et de rang 2 ;
Il est de divergence nulle.
Le tenseur de Ricci se déduit d’un autre tenseur, le tenseur de Riemann.
Source officielle
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