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Concept
Propagateur de l'équation de Schrödinger
Résumé
En physique, un propagateur est une fonction de Green particulière utilisée en électrodynamique quantique, qui peut être interprétée comme l'amplitude de probabilité pour qu'une particule élémentaire se déplace d'un endroit à un autre dans un temps donné.
Le terme propagateur a été introduit en physique par Feynman en 1948 pour sa formulation de la mécanique quantique en intégrales de chemin, une nouvelle approche de la quantification centrée sur le Lagrangien, contrairement à la procédure habituelle de quantification canonique fondée sur le hamiltonien.
Le propagateur, outil mathématique très commode, sera rapidement identifié par Dyson comme n'étant rien d'autre qu'une fonction de Green. Cette remarque permettra à Dyson de faire en 1948 le lien manquant entre la formulation abstraite de l'électrodynamique quantique développée par Schwinger, et celle, basée sur des diagrammes, inventée indépendamment par Feynman.
Considérons une particule non relativiste de masse à une dimension, dont l'opérateur hamiltonien s'écrit :
En représentation de Schrödinger, cette particule est décrite par le ket qui obéit à l'équation de Schrödinger :
Si l'on se donne à un instant initial fixé une condition initiale , et en supposant que l'opérateur est indépendant du temps, on peut écrire la solution de l'équation de Schrödinger aux instants ultérieurs comme :
Projetons cette équation dans la représentation des positions :
et insérons la relation de fermeture dans le terme de droite :
il vient :
Compte tenu du fait que , l'équation précédente s'écrit sous la forme :
On définit le propagateur de l'équation de Schrödinger par :
de telle sorte que la fonction d'onde évolue selon l'équation intégrale :
Comme est une solution de l'équation de Schrödinger, le propagateur est aussi une solution de cette équation :
qui doit de plus vérifier la condition initiale :
Les mathématiciens parlent dans ce cas d'une solution élémentaire de l'équation de Schrödinger, les physiciens utilisant plutôt le nom de fonction de Green.
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