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Concept
Surface réglée
Résumé
En géométrie, une surface réglée est une surface par chaque point de laquelle passe une droite, appelée génératrice, contenue dans la surface.
On peut décrire une surface réglée S en la considérant comme la réunion d'une famille de droites D(u) dépendant d'un paramètre u parcourant une partie I de l'ensemble des réels. Il suffit pour cela de se donner pour chaque u dans I un point P(u) et un vecteur directeur de D(u).
On obtient alors une représentation paramétrique de la surface S :
L'arc paramétré par est appelé une courbe directrice de S.
Dans l'exemple ci-contre, on a pris
Outre le plan qui est une surface réglée évidente, les surfaces réglées les plus connues sont :
le cône, dont toutes les génératrices ont un point commun, appelé sommet du cône ;
le cylindre, dont les génératrices sont parallèles ;
le paraboloïde hyperbolique, qui possède deux familles de génératrices ;
l'hyperboloïde à une nappe, qui possède également deux familles de génératrices ;
l'hélicoïde, seule surface minimale réglée, avec le plan ;
le ruban de Möbius, surface réglée non orientable ;
le conoïde, dont les génératrices sont parallèles à un plan donné (plan directeur) et passent par une droite (axe du conoïde).
Image:Cône surface réglée.png| Cône.
Image:Cylinder-Ruled-Surface.png| Cylindre.
Fichier:HyperbolicParaboloid-RuledSurface.png| Paraboloïde hyperbolique.
Image:Hyperboloide1.png| Hyperboloïde à une nappe.
Image:Helicoide.png| Hélicoïde.
Fichier:MobiusStrip.png| Ruban de Möbius.
Image:Conoide.png| Conoïde.
En tout point régulier d'une surface réglée, le plan tangent contient la génératrice qui passe par ce point.
En effet, la représentation paramétrique donne une base du plan tangent en M(u, v), constituée des vecteurs
ce dernier vecteur dirigeant la génératrice D(u).
Notamment, si par un point passent deux génératrices distinctes, celles-ci y engendrent le plan tangent. C'est notamment le cas des surfaces doublement réglées, comme l'hyperboloïde à une nappe ou le paraboloïde hyperbolique.
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