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Concept
Sommation de Cesàro
Résumé
En analyse, la sommation de Cesàro est un procédé de sommation permettant d'assigner une somme à certaines séries divergentes au sens usuel. Si la série est convergente au sens usuel, elle l'est également au sens de Cesàro et sa somme de Cesàro est égale à sa somme « classique ». En revanche, une série divergente peut avoir une somme de Cesàro bien définie.
La sommation de Cesàro porte le nom de l'analyste italien Ernesto Cesàro (1859–1906), à cause de l’utilisation de ce qu'on appelle aujourd’hui le lemme de Cesàro. Le mathématicien allemand Georg Frobenius avait déjà proposé ce procédé en 1878 , ainsi qu'Otto Hölder en 1882 , et Cesàro l'a généralisé en 1890, comme on le verra ci-dessous.
On dit qu'une suite réelle ou complexe converge au sens de Cesàro ou est convergente au sens de Cesàro si la suite des moyennes arithmétiques de ses premiers termes ( ) est convergente.
Le lemme de Cesàro affirme la convergence au sens de Cesàro d'une suite convergente vers sa limite usuelle .
La convergence au sens de Cesàro de la série est alors par définition la convergence au sens de Cesàro de la suite des sommes partielles .
La série est donc convergente au sens de Cesàro si possède une limite finie, qui est alors la somme de Cesàro de la série.
D'après le lemme de Cesàro, toute série convergente est convergente au sens de Cesàro, et sa somme de Cesàro est égale à la somme de la série. En revanche, il existe des séries divergentes qui sont néanmoins convergentes au sens de Cesàro.
Série de Grandi
Soit la suite définie par :
Soit G la série correspondante :
Alors la suite des sommes partielles est
Il est ainsi évident que la série G, également connue comme série de Grandi, n'est pas convergente, car elle alterne entre deux valeurs. En revanche, les termes de la suite (t) des moyennes de Cesàro de (s) où sont :
Ici, la suite des moyennes de Cesàro d'indices pairs (t) est constante égale à 1/2 et celle des moyennes de Cesàro d'indices impairs (t) converge vers la même valeur (on a t = n/2n –1). Ainsi, on a bien
La somme de Cesàro de la série G est 1/2.
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