Sommation de Cesàro

En analyse, la sommation de Cesàro est un procédé de sommation permettant d'assigner une somme à certaines séries divergentes au sens usuel. Si la série est convergente au sens usuel, elle l'est également au sens de Cesàro et sa somme de Cesàro est égale à sa somme « classique ». En revanche, une série divergente peut avoir une somme de Cesàro bien définie. La sommation de Cesàro porte le nom de l'analyste italien Ernesto Cesàro (1859–1906), à cause de l’utilisation de ce qu'on appelle aujourd’hui le lemme de Cesàro. Le mathématicien allemand Georg Frobenius avait déjà proposé ce procédé en 1878 , ainsi qu'Otto Hölder en 1882 , et Cesàro l'a généralisé en 1890, comme on le verra ci-dessous. On dit qu'une suite réelle ou complexe converge au sens de Cesàro ou est convergente au sens de Cesàro si la suite des moyennes arithmétiques de ses premiers termes ( ) est convergente. Le lemme de Cesàro affirme la convergence au sens de Cesàro d'une suite convergente vers sa limite usuelle . La convergence au sens de Cesàro de la série est alors par définition la convergence au sens de Cesàro de la suite des sommes partielles . La série est donc convergente au sens de Cesàro si possède une limite finie, qui est alors la somme de Cesàro de la série. D'après le lemme de Cesàro, toute série convergente est convergente au sens de Cesàro, et sa somme de Cesàro est égale à la somme de la série. En revanche, il existe des séries divergentes qui sont néanmoins convergentes au sens de Cesàro. Série de Grandi Soit la suite définie par : Soit G la série correspondante : Alors la suite des sommes partielles est Il est ainsi évident que la série G, également connue comme série de Grandi, n'est pas convergente, car elle alterne entre deux valeurs. En revanche, les termes de la suite (t) des moyennes de Cesàro de (s) où sont : Ici, la suite des moyennes de Cesàro d'indices pairs (t) est constante égale à 1/2 et celle des moyennes de Cesàro d'indices impairs (t) converge vers la même valeur (on a t = n/2n –1). Ainsi, on a bien La somme de Cesàro de la série G est 1/2.

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vignette|Écriture mathématique de la série de Grandi En analyse mathématique, la série 1 − 1 + 1 − 1 + ... ou est parfois appelée la série de Grandi, du nom du mathématicien, philosophe et prêtre Luigi Guido Grandi, qui en donna une analyse célèbre en 1703. Il s'agit d'une série divergente, c'est-à-dire que la suite de ses sommes partielles n'a pas de limite. Mais sa somme de Cesàro, c'est-à-dire la limite des moyennes de Cesàro de cette même suite, existe et vaut . Une méthode évidente pour traiter la série 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + .

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1 + 2 + 3 + 4 + ⋯, la série des entiers strictement positifs pris dans l'ordre croissant, est en analyse une série divergente. La n-ième somme partielle de cette série est le nombre triangulaire : La suite de ces sommes partielles est croissante et non majorée donc tend vers l'infini. Bien que cette série ne possède donc a priori pas de valeur significative, elle peut être manipulée pour produire un certain nombre de résultats mathématiquement intéressants (en particulier, diverses méthodes de sommation lui donnent la valeur -1/12), dont certains ont des applications dans d'autres domaines, comme l'analyse complexe, la théorie quantique des champs, la théorie des cordes ou encore l'effet Casimir.