Série de Grandi

vignette|Écriture mathématique de la série de Grandi En analyse mathématique, la série 1 − 1 + 1 − 1 + ... ou est parfois appelée la série de Grandi, du nom du mathématicien, philosophe et prêtre Luigi Guido Grandi, qui en donna une analyse célèbre en 1703. Il s'agit d'une série divergente, c'est-à-dire que la suite de ses sommes partielles n'a pas de limite. Mais sa somme de Cesàro, c'est-à-dire la limite des moyennes de Cesàro de cette même suite, existe et vaut . Une méthode évidente pour traiter la série 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ... est de la traiter comme une série télescopique et d'effectuer les soustractions localement : (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0. Cependant un autre parenthèsage, analogue, conduit à un résultat apparemment contradictoire : 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ... = 1 + 0 + 0 + 0 + ... = 1. Ainsi, en appliquant les parenthèses à la série de Grandi de différentes manières, on peut obtenir les « valeurs » 0 ou 1 (des variantes de cette idée, appelées , sont parfois utilisées en théorie des nœuds ou en algèbre). En traitant la série de Grandi comme une , on peut utiliser les mêmes méthodes algébriques qui évaluent les séries convergentes géométriques pour obtenir une troisième valeur : S = 1 − 1 + 1 − 1 + ..., donc 1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + ...) = 1 − 1 + 1 − 1 + ... = S, ayant pour résultat S = . On arrive à la même conclusion en calculant -S, soustrayant le résultat de S, et en résolvant 2S = 1. Les manipulations ci-dessus ne considèrent pas ce que la somme de la série signifie réellement. Cependant, dans la mesure où il est important de pouvoir parenthéser les séries comme on veut, et surtout, de faire de l'arithmétique sur elles, on peut arriver à deux conclusions : la série 1 − 1 + 1 − 1 + ... n'a pas de somme ... mais sa somme devrait être égale à . En fait, les deux affirmations peuvent être précisées et prouvées, mais seulement en utilisant des concepts mathématiques bien définis qui furent développés au .