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Concept
Antimorphisme
Résumé
En mathématiques, un antimorphisme (parfois appelé antihomomorphisme), est une application entre deux structures algébriques qui renverse l'ordre des opérations.
Considérons les magmas et , c'est-à-dire que et sont deux ensembles munis respectivement de deux lois de composition interne notées et . Une application est un antimorphisme de dans si
Autrement dit, si on définit le magma opposé par et
alors est un antimorphisme de dans si et seulement si est un morphisme de dans .
Dans le cas où et est bijective, on dit que c'est un antiautomorphisme.
Dans le cas où la loi est commutative, les notions d'antimorphisme et de morphisme sont les mêmes, ainsi que celles d'automorphisme et d'antiautomorphisme.
La composition de deux antimorphismes est un morphisme, puisqu'inverser deux fois l'ordre des opérations préserve l'ordre des opérations. Par contre, la composition d'un antimorphisme avec un morphisme est un antimorphisme (quel que soit le sens de la composition).
Pour deux groupes et (notés multiplicativement), on dit qu'une application est un antimorphisme de groupes de dans si
pour tout .
Autrement dit, est un antimorphisme de groupe de dans si, et seulement si, est un morphisme de groupes de dans , le groupe opposé de .
Par exemple, l'application inverse est un antimorphisme de groupes de dans lui-même qui est de plus bijective. Ainsi, un groupe est toujours isomorphe à son groupe opposé.
Pour deux anneaux (unitaires) et , on dit qu'une application est un antimorphisme d'anneaux de dans si elle est un morphisme vis-à-vis de la loi additive mais un antimorphisme pour la loi multiplicative, c'est-à-dire que
(en notant respectivement et les unités de et );
pour tout .
Autrement dit, est un antimorphisme d'anneaux de dans si, et seulement si, est un morphisme d'anneaux de dans , l'anneau opposé de .
Par exemple, l'application transposée entre deux anneaux de matrices est un antimorphisme d'anneaux.
Pour deux algèbres et sur un corps , on dit qu'une application est un antimorphisme d'algèbres de dans si elle est linéaire vis-à-vis de la loi additive mais un antimorphisme pour la loi multiplicative, c'est-à-dire que
pour tout et .
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