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Concept
Forme sesquilinéaire
Résumé
En algèbre, une forme sesquilinéaire sur un espace vectoriel complexe E est une application de E × E dans C, linéaire selon l'une des variables et semi-linéaire par rapport à l'autre variable. Elle possède donc une propriété de « un-et-demi » linéarité (cf. préfixe sesqui, qui signifie "dans un rapport de un et demi"). C'est l'équivalent complexe des formes bilinéaires réelles.
Les formes sesquilinéaires les plus étudiées sont les formes hermitiennes qui correspondent aux formes bilinéaires (réelles) symétriques. Parmi celles-ci, les formes hermitiennes définies positives permettent de munir E d'un produit scalaire et ouvrent à l'étude des espaces hermitiens, des espaces préhilbertiens complexes et des espaces de Hilbert.
Initialement prévue comme première étape pour la création d'une forme hermitienne sur C, la notion de forme sesquilinéaire peut s'étendre à des espaces vectoriels sur d'autres corps et même à des modules sur des anneaux.
Soit E un C-espace vectoriel, une application φ de E dans C est une forme semi-linéaire (ou antilinéaire) si elle respecte l'addition et presque la multiplication par un scalaire :
Une application (ou forme) semi-linéaire vérifie :
ce qui justifie l'autre terme utilisé : application anti-linéaire.
Les conventions qui suivent imposent un choix de l'argument qui est linéaire. Le choix ci-dessous (forme sesquilinéaire à gauche : première variable semi-linéaire, deuxième variable linéaire) est utilisé par tous les physiciens, ceci étant dû à l'origine à l'utilisation de la notation bra-ket (peut-être pas universel), mais le choix opposé est courant en mathématiques depuis les années 1950.
Soit E et F des espaces vectoriels complexes, une application f : E × F → C est une forme sesquilinéaire à gauche si :
a) Elle est linéaire à droite : pour tout x de E, y, y de F, pour tout λ de C :
b) Elle est semi-linéaire à gauche, ce qui signifie que pour tout x, x' de E et y de F, pour tout λ de C :
Les formes sesquilinéaires (à gauche) constituent un sous-espace vectoriel complexe de l'espace des applications de E × F dans C.
Source officielle
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