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Concept
Matrice transposée
Résumé
En mathématiques, la matrice transposée (ou la transposée) d'une matrice est la matrice , également notée ou , obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de .
Plus précisément, si on note pour et pour les coefficients respectivement de et de alors pour tout on a .
Par exemple, si
alors
On suppose ici que K est un anneau commutatif. On note et deux matrices quelconques de et un scalaire.
L'application « transposition » est linéaire :
La transposée de est . Par conséquent, l'application « transposition » est bijective. C'est donc un isomorphisme d'espaces vectoriels. En particulier — pour les matrices carrées — c'est une involution de ; c'est donc la symétrie par rapport au sous-espace des matrices symétriques, parallèlement à celui des matrices antisymétriques.
La transposée du produit de deux matrices est égale au produit des transposées de ces deux matrices, mais dans l'ordre inverse :
En particulier, l'application « transposition » est donc un antiautomorphisme de l'algèbre .
Si une matrice carrée est inversible, alors sa transposée l'est aussi, et la transposée de l'inverse de est égale à l'inverse de sa transposée :
Une matrice carrée et sa transposée ont même diagonale principale (et par conséquent même trace). En particulier, toute matrice diagonale est symétrique, c'est-à-dire égale à sa transposée.
Plus généralement, deux matrices carrées transposées l'une de l'autre ont même polynôme caractéristique donc mêmes valeurs propres, comptées avec leurs multiplicités (en particulier, non seulement même trace mais aussi même déterminant), et même polynôme minimal. Mieux : sur un corps, elles sont semblables. Cela peut se montrer en remarquant qu'elles ont les mêmes invariants de similitude, ou bien en utilisant la réduction de Jordan, et en remarquant que , où J est un bloc de Jordan et S une .
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