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Concept
Théorème de Wedderburn
Résumé
En mathématiques et plus précisément en algèbre, le théorème de Wedderburn affirme que tout corps qui est fini est nécessairement commutatif. Joseph Wedderburn l'a publié en 1905.
vignette|Joseph Wedderburn.
Théorème de Wedderburn. — Tout corps fini est commutatif.
Remarque sur la terminologie : diverses sources, notamment sous l'influence de l'anglais où le mot field désigne un corps commutatif, posent la commutativité de la multiplication dans la définition d'un corps et en particulier pour les corps finis. Le théorème serait alors une tautologie triviale si on interprétait ainsi l'expression « corps fini » qui y figure. L'énoncé ci-dessus doit être lu avec l'autre interprétation où la commutativité de la multiplication dans la définition de « corps » n'est pas exigée. Dans le cas contraire où elle est exigée, on peut énoncer le théorème ainsi: tout corps gauche (encore appelé anneau à division) fini est commutatif. On renvoie à l'article Corps (mathématiques) pour plus de détails sur la terminologie.
Tout anneau sans diviseur de zéro et fini est un corps (a priori non commutatif), puisque la multiplication par un élément non nul, qui est injective par intégrité, est alors aussi surjective dans le cas fini. Le théorème de Wedderburn affirmant l'inexistence d'un corps non commutatif fini, on en conclut qu'un anneau fini sans diviseur de zéro ne peut lui aussi qu'être un corps commutatif.
Le théorème de Wedderburn est généralisé par le pour les .
Leonard Eugene Dickson, professeur à l'université de Chicago, publie en 1901 la première présentation moderne de la théorie des corps commutatifs finis (théorie initiée par Évariste Galois en 1830). Oswald Veblen travaille à cette époque sur les géométries sur des structures finies dans la même université. Joseph Wedderburn les rejoint en 1904-1905 et travaille en étroite collaboration avec eux.
En 1905, Wedderburn et Dickson publient chacun un article où il est démontré que tout corps fini est commutatif. Dicskon attribue le résultat à Wedderburn.
Source officielle
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