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Concept
Épicycloïde
Résumé
Une épicycloïde est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle dit directeur, les disques ouverts ayant ces deux cercles pour frontière étant disjoints. Il s'agit donc d'un cas particulier de cycloïde à centre, qui est une catégorie de courbe cycloïdale.
Le mot est une extension de cycloïde, inventé en 1599 par Galilée,
et a la même étymologie : il vient du grec epi (sur), kuklos (cercle, roue) et eidos (forme, « semblable à »).
La courbe apparaît pour la première fois durant l'Antiquité : Aristote puis Ptolémée l'utilisent pour décrire le mouvement des planètes dans leur modèle géocentrique, et pour résoudre les problèmes liés aux rebroussements qui apparaissent dans leur trajectoire céleste, que l'on appelle rétrogradation. Cependant, la courbe en elle-même n'est pas évoquée ; elle est seulement une conséquence du mouvement suivant une épicycle tournant autour d'un déférant.
Au cours de ses travaux sur les profils des dents engrenages, Rømer redécouvre l'épicycloïde et la baptise en 1674. Il prouve alors qu'en dessinant les dents d'un engrenage avec des segments d'épicycloïde, deux roues d'engrenages tournent avec une friction minimale. Ces résultats sont confirmés par la suite par Girard Desargues, Philippe de La Hire et Charles Stephen. Le théorème de la double génération de la courbe, quant à lui, est démontré pour la première fois par Daniel Bernoulli en 1725.
Parmi les autres mathématiciens qui se sont intéressés à cette courbe, citons Dürer, Huygens, Leibniz, L'Hôpital, Jacques Bernoulli, Euler, Edmond Halley et Isaac Newton, ce dernier ayant traité de la mesure de la longueur de l'épicycloïde dans son Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.
Une épicycloïde peut être définie par l'équation paramétrique suivante :
où est le rayon du cercle de base et celui du cercle roulant. Avec , cette équation peut donc également s'écrire :
La courbe est formée d'arcs isométriques (appelés arches) séparés par des points de rebroussements.
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