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Concept
Quadrivecteur potentiel
Résumé
En physique, le quadrivecteur potentiel ou quadri-potentiel ou encore champ de jauge, noté en général avec indice muet, est un vecteur à quatre composantes défini par où désigne le potentiel scalaire (aussi noté V), c la vitesse de la lumière dans le vide, et le potentiel vecteur qui dépend du choix du système de coordonnées. Par exemple, en coordonnées cartésiennes, ce dernier est représenté par , ce qui rend au total pour le quadri-vecteur .
Il est utilisé notamment en relativité restreinte et en mécanique quantique relativiste.
Le quadri-potentiel dépend des coordonnées de l'espace-temps soit où est le quadri-vecteur espace-temps, soit en coordonnées cartésiennes . Finalement, le champ de jauge s'écrit . En cartésien, obtient l'extension totale
Le potentiel scalaire est défini par
Le potentiel vecteur est défini par
où désigne la densité de charge et la densité de courant dans le volume V''' considéré. Le temps t' désigne le temps retardé ou temps au niveau de la source puisque le champ se propage à la vitesse c, donc le champ émis par la source en au temps t''' se fera ressentir en au temps .
À partir des équations de Maxwell relativistes, si on choisit la jauge de Lorenz, qui peut être définie par , soit on aboutit aux 4 équations suivantes :
où
désigne le quadrivecteur gradient covariant, et son équivalent contravariant. En effet, avec la métrique de Minkowski en signature (+,-,-,-).
La répétition des indices implique la somme des termes suivant la convention d'Einstein . Ceci entraîne que qui n'est autre que l'opérateur d'alembertien.
désigne la perméabilité du vide
représente le quadrivecteur densité de courant.
Pour on trouve l'équation qui correspond à l'équation de Maxwell dans le vide .
En effet,
Pour on trouve l'équation qui correspond à l'équation de Maxwell dans le vide .
En effet,
Tout vecteur à quatre composantes ne définit pas forcément un quadrivecteur en physique relativiste.
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