Delta-2

Delta-2 est un procédé d'accélération de la convergence de suites en analyse numérique, popularisé par le mathématicien Alexander Aitken en 1926. C'est l'un des algorithmes d'accélération de la convergence les plus populaires du fait de sa simplicité et de son efficacité. Une première forme de cet algorithme a été utilisée par Seki Kōwa (fin du ) pour calculer une approximation de π par la méthode des polygones d'Archimède. Soit une suite convergente vers une limite que l'on souhaite déterminer, le procédé Delta-2 de Aitken associe à cette suite une autre suite définie par : C'est de la première écriture que le procédé tire son nom. Sous certaines conditions, la suite Axn converge plus vite que la suite initiale xn, ce qui permet d'estimer la limite de la suite avec une meilleure précision et/ou en effectuant moins de calculs. C'est un algorithme numériquement peu stable : il convient de calculer la suite xn ainsi que Axn avec un nombre important de chiffres significatifs. Certaines écritures de l'algorithme propagent moins les erreurs d'arrondi, par exemple : La suite Axn étant elle-même une suite numérique, il est possible de lui appliquer le Delta-2, et ainsi de suite : c'est ce qu'on appelle une application itérée du Delta-2. Le Delta-2 est un algorithme non linéaire d'accélération de la convergence. Mais il vérifie la propriété : a et b constantes réelles. Le Delta-2 détermine une estimation de la limite de la suite xn en partant de l'hypothèse que celle-ci vérifie l'équation aux différences suivante : En résolvant cette équation aux différences, les suites (dont le Delta-2 détermine de manière immédiate la limite) sont de la forme : Il est à noter que même si la suite xn diverge, c'est-à-dire si |λ| > 1, le Delta-2 converge vers « l'anti-limite » de la suite. Le théorème de convergence pour le procédé de Aitken est : Le Delta-2 est donc particulièrement bien adapté aux suites à convergence linéaires (dont l'écart avec leur limite se comporte à l'infini comme une suite géométrique).