Concept
En théorie des nombres, un triplet premier est une suite de trois nombres premiers consécutifs telle que l'écart entre le plus petit et le plus grand soit de 6, ce qui est le plus petit écart possible pour une telle suite, à l'exception des triplets (2,3,5) et (3,5,7). Un triplet premier est nécessairement de la forme (p, p + 2, p + 6) ou (p, p + 4, p + 6). Une conjecture, renforçant celle des nombres premiers jumeaux, est l'existence d'une infinité de triplets de chacune des deux formes. Un triplet de nombres premiers consécutifs est constitué de nombres premiers impairs, à l'exception de (2,3,5). Si trois entiers sont de la forme n, n + 2, n + 4, alors 3 est un diviseur de l'un de ces trois nombres, donc si n > 3 l'un de ces nombres n'est pas premier. Par conséquent, parmi trois nombres premiers impairs consécutifs, l'écart entre le plus petit et le plus grand vaut toujours au moins 6, sauf pour le triplet (3, 5, 7). Quand on cherche des triplets de nombres premiers consécutifs d'écarts minimaux, les deux seules formes possibles, en dehors de ces deux triplets, sont donc bien (p, p + 2, p + 6) ou (p, p + 4, p + 6), et on trouve effectivement des triplets premiers de chacune de ces deux formes, comme (5, 7, 11) et (7, 11, 13), et d'autres. Plus formellement, trois nombres premiers consécutifs s'écrivent (p, p + a, p +b), et les triplets premiers sont les triplets pour lesquels l'écart b entre les extrémités du triplet est minimal parmi les triplets de nombres premiers consécutifs qui ne fournissent pas de représentant pour chaque classe de congruence modulo un nombre premier. Cette définition exclut bien (2,3,5), car on a toutes les classes de congruence modulo 2, et (3,5,7), car on a toutes les classes de congruence modulo 3. Elle exclut les formes de triplets, (p, p+1, p+4) et (p, p+2, p+4) pour lesquelles on obtient par congruence une raison évidente pour laquelle il y a un nombre fini de triplets de cette forme. Cette définition se généralise à des suites finies de nombres premiers consécutifs de longueur arbitraire, que l'on appelle constellation de nombres premiers.