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Concept
Quadruplet premier
Résumé
En théorie des nombres, un quadruplet premier est une suite de quatre nombres premiers consécutifs de la forme (p, p+2, p+6, p+8). C'est la seule forme possible pour quatre nombres premiers consécutifs d'écarts entre eux minimaux, en dehors des quadruplets (2,3,5,7) et (3,5,7,11). Par exemple (5, 7, 11, 13) et (11, 13, 17, 19) sont des quadruplets premiers.
Un quadruplet de nombres premiers impairs consécutifs a un écart entre le plus petit et le plus grand de ces nombres d'au moins 6, il ne peut être de 6 car le seul triplet de nombres premiers consécutifs de la forme (p, p+2, p+4) est (3, 5, 7) (voir triplet premier). Cet écart est donc d'au moins 8. S'il est de 8, il s'écrit (p, p+2, p+4, p+8), et toujours pour la même raison, c'est forcément (3, 5, 7, 11), ou bien il s'écrit (p, p+2, p+6, p+8).
En effet, il ne peut pas s'écrire (p, p+4, p+6, p+8), car on aurait (p+4, p+6, p+8) = (3, 5, 7).
La seule forme possible pour des quadruplets de nombres premiers consécutifs d'écart minimal 8 entre le premier et le dernier, et pour laquelle on n'a pas une raison évidente qu'il y a un nombre fini de quadruplets de cette forme est (p, p+2, p+6, p+8), et ce sont ces quadruplets que l'on appelle quadruplets premiers. Un quadruplet premier est une constellation de quatre nombres premiers.
Les quadruplets premiers sont constitués de deux paires de nombres premiers jumeaux, (p, p+2) et (p+6, p+8).
Le plus petit quadruplet premier est (5, 7, 11, 13). Les quadruplets premiers suivants sont tous de la forme (30n+11, 30n+13, 30n+17, 30n+19), où n est un entier naturel. Ces quatre nombres ont pour centre de symétrie 30n + 15, multiple impair de 15.
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