Matrice D de Wigner

La matrice D de Wigner est une matrice d'une représentation irréductible des groupes SU(2) et SO(3). Le conjugué complexe de la matrice D est une fonction propre du hamiltonien des rotateurs rigides sphériques et symétriques. Introduite en 1927 par Eugene Wigner, cette matrice est utilisée en mécanique quantique. Soient , , des générateurs d'une algèbre de Lie de SU(2) et SO(3). En mécanique quantique ces trois opérateurs sont les composantes d'un opérateur vectoriel appelé moment angulaire. On peut citer comme exemple le moment angulaire d'un électron dans un atome, le spin, ou le moment angulaire d'un rotateur rigide. Dans tous les cas, les trois opérateurs satisfont aux relations de commutation suivantes : où i est un nombre imaginaire pur et la constante de Planck a été considérée comme égale à l'unité. L'opérateur est un opérateur de Casimir de SU(2) (ou SO(3) selon les cas). Il peut être diagonalisé avec (le choix de cet opérateur est une convention), qui commute avec . Ceci étant, on peut montrer qu'il existe un ensemble complet de kets avec : où et . Pour SO(3) le nombre quantique est entier). Un peut être écrit de la façon suivante : où et sont des angles d'Euler (caractérisés par : la convention z-y-z, un repère orienté à droite, règle de vissage à droite, rotation active). La matrice D de Wigner est une matrice carrée de taille avec pour élément général : La matrice avec l'élément général : est connue sous le nom de matrice d de Wigner (lire matrice petit d). E. Wigner en donna l'expression suivante La somme sur s est effectuée sur des valeurs telles que les factoriels ne soient pas négatifs. Note : les éléments de la matrice d définie ici sont réels. Dans la convention z-x-z des angles d'Euler parfois utilisée, le facteur de cette formule est remplacé par , ce qui implique que la moitié des fonctions soient purement imaginaires. La réalité (au sens mathématique) des éléments de la matrice d est l'une des raisons pour lesquelles la convention z-y-z, utilisée ici, est habituellement préférée dans les applications de mécanique quantique.