Moment factoriel

En mathématiques et plus particulièrement en théorie des probabilités, le moment factoriel désigne l'espérance de la factorielle décroissante d'une variable aléatoire. Les moments factoriels sont utiles dans l'étude de variables aléatoires à valeurs dans l'ensemble des entiers naturels. Les moments factoriels sont aussi utilisés dans le domaine mathématique de la combinatoire, pour étudier des structures mathématiques discrètes. Pour un entier naturel , le -ième moment factoriel d'une variable aléatoire à valeurs réelles ou complexes est où désigne l'espérance et désigne la factorielle décroissante (on considère que par convention). Pour que cette dernière espérance soit bien définie il faut par exemple que ou . A noter que, dans la définition, il n'est pas nécessaire que soit à valeurs entières positives, même si bien souvent la notion de moment factoriel est utilisée dans le cadre de variables aléatoires à valeurs dans l'ensemble des entiers naturels. Si une variable aléatoire suit une loi de Poisson de paramètre λ, alors les moments factoriels de sont donnés par Cette formule est plutôt simple comparée à la formule des moments classiques qui fait intervenir les nombres de Stirling de seconde espèce. Si une variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres et , alors les moments factoriels de sont donnés par Si une variable aléatoire suit une loi hypergéométrique de paramètres , et , alors les moments factoriels de sont donnés par Si une variable aléatoire suit une loi bêta-binomiale de paramètres , et , alors les moments factoriels de sont donnés par Si une variable aléatoire suit une loi de Markov-Pólya de paramètres , , et , autrement dit, si alors pour non nul les moments factoriels de sont donnés par où désigne la factorielle croissante. Lorsque est nul alors suit une loi binomiale de paramètres et . De même lorsque vaut -1 alors suit une loi hypergéométrique de paramètres , et . Enfin lorsque vaut 1 alors suit une loi bêta-binomiale de paramètres , et .