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Concept
Loi de Poisson
Résumé
En théorie des probabilités et en statistiques, la loi de Poisson est une loi de probabilité discrète qui décrit le comportement du nombre d'événements se produisant dans un intervalle de temps fixé, si ces événements se produisent avec une fréquence moyenne ou espérance connue, et indépendamment du temps écoulé depuis l'événement précédent.
gauche|vignette|Chewing gums sur un trottoir. Le nombre de chewing gums sur un pavé est approximativement distribué selon une loi de Poisson.
La loi de Poisson est également pertinente pour décrire le nombre d'événements dans d'autres types d'intervalles, spatiaux plutôt que temporels, comme des segments, surfaces ou volumes.
La loi de Poisson a été introduite en 1838 par Denis Poisson (1781–1840), dans son ouvrage Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Le sujet principal de cet ouvrage consiste en certaines variables aléatoires qui dénombrent, entre autres choses, le nombre d'occurrences (parfois appelées « arrivées ») qui prennent place pendant un laps de temps donné.
Si le nombre moyen d'occurrences dans un intervalle de temps fixé est λ, alors la probabilité qu'il existe exactement k occurrences (k étant un entier naturel, k = 0, 1, 2...) est
où :
e est la base de l'exponentielle (e ≈ 2,718...) ;
k! est la factorielle de k ;
λ est un nombre réel strictement positif.
On dit alors que X suit la loi de Poisson de paramètre λ, noté .
Par exemple, si un certain type d'événements se produit en moyenne 4 fois par minute, pour étudier le nombre d'événements se produisant dans un laps de temps de 10 minutes, on choisit comme modèle une loi de Poisson de paramètre λ = 10×4 = 40.
Ce calcul peut se faire de manière déductive en travaillant sur une loi binomiale de paramètres . Pour T grand, on démontre que la loi binomiale converge vers la loi de Poisson.
Il peut aussi se faire de manière inductive en étudiant sur l'intervalle [0 ; T] les fonctions Fk(t), qui donnent la probabilité que l'événement se produise k fois sur l'intervalle de temps [0 ; t].
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