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Concept
Généralisations de la suite de Fibonacci
Résumé
En mathématiques, la suite de Fibonacci est définie par récurrence par :
pour tout entier .
Autrement dit, les deux valeurs de départ 0 et 1 étant données, chaque nombre est la somme des deux précédents.
La suite de Fibonacci peut être généralisée de nombreuses façons ; par exemple, en partant d'autres nombres que 0 et 1, en ajoutant plus de deux termes pour générer le suivant, ou en ajoutant des objets autres que des nombres.
À l'aide de la relation , on peut étendre la suite de Fibonacci à des indices entiers négatifs. On obtient la suite : ..., −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... qui vérifie : F−n = (−1)F_n.
vignette|Tracé de la courbe de la fonction Fib entre -5 et 5.
De manière similaire à la généralisation de la suite des factorielles par la fonction Gamma d'Euler, on peut construire une généralisation de la suite de Fibonacci à des valeurs de départ réelles (et même complexes).
Elle est basée sur la formule de Binet faisant intervenir le nombre d'or φ :
En posant :
on obtient une fonction holomorphe sur le plan complexe qui satisfait pour tout entier n.
Elle vérifie aussi pour tout complexe z.
On peut désigner par suite de type Fibonacci toute suite (u) à valeurs dans un espace vectoriel, vérifiant u = u + u pour tout naturel n. Ces suites peuvent aussi être définies par u = u F + u F , de sorte qu'elles forment un plan vectoriel de base ((F),(F)). D'après la formule de Binet ci-dessus, une autre base de ce plan est (φ,(–φ)).
Plus généralement, (u) peut prendre ses valeurs dans un groupe abélien (considéré comme un -module). Dans ce cas, les suites de type Fibonacci forment un -module de dimension 2.
La suite de type Fibonacci la plus connue après la suite (F) est la suite des nombres de Lucas (L) définie par L =2, L = 1 et donc L = L + L ; prolongée aux entiers négatifs, elle vérifie aussi L−n = (−1)L_n.
Les suites d'entiers de type Fibonacci non triviales se trouvent toutes (éventuellement avec un décalage) sur une des lignes du tableau de Wythoff.
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