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Concept
Espace vectoriel ordonné
Résumé
En mathématiques, un espace vectoriel ordonné (ou espace vectoriel partiellement ordonné) est un espace vectoriel sur muni d'une relation d'ordre compatible avec sa structure. Il est dit totalement ordonné si l'ordre associé est un ordre total.
Soit E un espace vectoriel sur le corps des réels et un préordre sur . La paire est appelée espace vectoriel préordonné, on dit que est compatible avec la structure d'espace vectoriel sur E et on appelle un préordre vectoriel si pour tout x, y et z dans E et dans , les deux propriétés suivantes sont vérifiées :
Si est une relation d'ordre compatible avec la structure d'espace vectoriel sur E, la paire est appelée espace vectoriel ordonné et est appelé ordre vectoriel sur E. Les deux axiomes entraînent que les translations et les homothéties de rapport positif sont des automorphismes de E pour la structure d'ensemble ordonné, et que la fonction est un isomorphisme dans E muni de l'ordre dual. Les espaces vectoriels ordonnés sont des groupes ordonnés pour l'addition. Notons que pour tout x et y, .
Si E un espace vectoriel préordonné, l'ensemble est un cône convexe pointé appelé cône positif de E et dont les éléments sont dits positifs. Pour tout x et y on a . De plus, le cône positif de E est saillant si et seulement si est une relation d'ordre, et c'est un cône saillant maximal pour l'inclusion si et seulement si est une relation d'ordre totale.
Réciproquement, si C est un cône convexe pointé d'un espace vectoriel E, la relation d'ordre définie par est préordre sur E compatible avec sa structure d'espace vectoriel, dont C est le cône positif.
Étant un espace vectoriel E, on peut donc définir une bijection entre les cônes convexes pointés (resp. cônes convexes pointés saillants, cônes convexes pointés saillants maximaux pour l'inclusion) et les relations de préordre vectoriel (respectivement ordre vectoriel, ordre vectoriel total) sur E.
Un ordre vectoriel total ne peut pas être archimédien si la dimension de l'espace vectoriel sous-jacent est strictement plus grande que 1.
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