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Concept
Théorème de Helmholtz-Hodge
Résumé
En mathématiques et en physique, dans le domaine de l’analyse vectorielle, le théorème de Helmholtz-Hodge, également appelé théorème fondamental du calcul vectoriel, assure qu'un champ vectoriel se décompose en une composante « longitudinale » (irrotationnelle) et une composante « transverse » (solénoïdale), soit la somme du gradient d’un champ scalaire et du rotationnel d’un champ vectoriel.
Ce résultat possède des applications importantes en électromagnétisme et en mécanique des fluides ; il est également exploité en sismologie.
Remarques :
L’égalité s’appelle la décomposition de Helmholtz.
Lorsque le domaine est borné, il n’est pas toujours possible de garantir l’orthogonalité de la décomposition et elle n’est jamais unique.
L’hypothèse de connexité n’est pas essentielle puisque le théorème peut s’appliquer séparément à chaque partie connexe.
Certaines hypothèses de l’énoncé peuvent être affaiblies, en particulier sur la régularité de et la forme de , ou sur la décroissance de à l’infini.
Le principal souci avec cette approche est la question de la convergence des transformées de Fourier, notamment dans le cas où le domaine est en entier.
Considérons une décomposition d’un champ supposée vérifiée sur un domaine donné a priori quelconque :
Partant d’un vecteur constant et non nul choisi arbitrairement, puis définissant les deux champs
qui vérifient
on obtient une deuxième décomposition distincte de la première en se basant sur les champs
Par ailleurs, même si les termes de la première décomposition sont orthogonaux, il est toujours possible de choisir un de norme suffisamment élevée de sorte que ce ne soit plus le cas pour la seconde.
Cet exemple simple montre que sur un domaine compact, même avec une frontière parfaitement régulière (une sphère par exemple), l’unicité de la décomposition n’est jamais assurée, même pour un champ infiniment régulier et quelles que soient les conditions de bord qu’il puisse satisfaire.
Dans par contre, un champ constant non nul ne respecterait pas l’hypothèse du théorème relative à la décroissance à l’infini.
Source officielle
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